Trigonometria Exemplos

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $32$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Aplique a regra do produto a $32 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Etapa 2.2.5

Avalie o expoente.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $1024$ por $3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Etapa 2.3.2

Some $1024$ e $3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $4096$ como $64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 64$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Etapa 4

Simplifique $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $32$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Etapa 4.1.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Etapa 4.2

$\sqrt{3}$ é aproximadamente $1.7320508$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 4.3

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Etapa 5

Encontre o quadrante.

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Etapa 5.1

Mova $32$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Etapa 5.2

O ponto está localizado no primeiro quadrante, porque $x$ e $y$ são positivos. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante $1$

Etapa 6

$(a, b)$ está no primeiro quadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 7

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 8

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

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Etapa 8.1

Combine ${(64)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.2

Combine $c$ e $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.3

Combine $i$ e $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Etapa 8.4

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5

Remova os parênteses.

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Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Etapa 8.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.5.8

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Etapa 9

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.4

Avalie o expoente.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.5

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 9.5.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Etapa 9.5.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Etapa 9.6

Some $\frac{π}{3}$ e $0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Etapa 9.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 9.8

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Etapa 9.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Etapa 10

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.4

Avalie o expoente.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Etapa 10.6

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Etapa 10.7

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 10.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 10.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Etapa 10.9.2

Some $π$ e $6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Etapa 10.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 10.11

Multiplique $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 10.11.1

Multiplique $\frac{7 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Etapa 10.11.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Etapa 11

Substitua $k = 2$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.4

Avalie o expoente.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Etapa 11.6

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Etapa 11.7

Combine $4 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 11.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 11.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.9.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Etapa 11.9.2

Some $π$ e $12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Etapa 11.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 11.11

Multiplique $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.11.1

Multiplique $\frac{13 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Etapa 11.11.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Etapa 12

Liste as soluções.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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