Estatística Exemplos

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta

x

$x$ usa um conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade

P (x)

$P (x)$ para cada valor possível

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , a probabilidade

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de

x

$x$ é igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.3

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.4

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.5

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.6

Para cada

x

$x$ , a probabilidade

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.7

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de

x

$x$ .

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Etapa 1.8

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de

x

$x$ é

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some

0.1

$0.1$ e

0.2

$0.2$ .

0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Etapa 1.8.2

Some

0.3

$0.3$ e

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.2 + 0.2

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Etapa 1.8.3

Some

0.6

$0.6$ e

0.2

$0.2$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Etapa 1.8.4

Some

0.8

$0.8$ e

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Etapa 1.9

Para cada

x

$x$ , a probabilidade de

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os

x

$x$ possíveis é igual a

1

$1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores

x

$x$

Propriedade 2:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores

x

$x$

Propriedade 2:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique

3

$3$ por

0.1

$0.1$ .

u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Etapa 3.2

Multiplique

6

$6$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Etapa 3.3

Multiplique

8

$8$ por

0.3

$0.3$ .

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Etapa 3.4

Multiplique

11

$11$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2$

Etapa 3.5

Multiplique

15

$15$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some

0.3

$0.3$ e

1.2

$1.2$ .

u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3$

Etapa 4.2

Some

1.5

$1.5$ e

2.4

$2.4$ .

u = 3.9 + 2.2 + 3

$u = 3.9 + 2.2 + 3$

Etapa 4.3

Some

3.9

$3.9$ e

2.2

$2.2$ .

u = 6.1 + 3

$u = 6.1 + 3$

Etapa 4.4

Some

6.1

$6.1$ e

3

$3$ .

u = 9.1

$u = 9.1$

u = 9.1

$u = 9.1$

Etapa 5

A variância de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual ao quadrado do desvio padrão.

s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

{(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

{(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.2

Subtraia

9.1

$9.1$ de

3

$3$ .

{(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.3

Eleve

- 6.1

$- 6.1$ à potência de

2

$2$ .

37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.4

Multiplique

37.21

$37.21$ por

0.1

$0.1$ .

3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.5

Multiplique

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.6

Subtraia

9.1

$9.1$ de

6

$6$ .

3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.7

Eleve

- 3.1

$- 3.1$ à potência de

2

$2$ .

3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.8

Multiplique

9.61

$9.61$ por

0.2

$0.2$ .

3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.9

Multiplique

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.10

Subtraia

9.1

$9.1$ de

8

$8$ .

3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.11

Eleve

- 1.1

$- 1.1$ à potência de

2

$2$ .

3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.12

Multiplique

1.21

$1.21$ por

0.3

$0.3$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.13

Multiplique

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.14

Subtraia

9.1

$9.1$ de

11

$11$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.15

Eleve

1.9

$1.9$ à potência de

2

$2$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.16

Multiplique

3.61

$3.61$ por

0.2

$0.2$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.17

Multiplique

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.18

Subtraia

9.1

$9.1$ de

15

$15$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.19

Eleve

5.9

$5.9$ à potência de

2

$2$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2$

Etapa 7.1.20

Multiplique

34.81

$34.81$ por

0.2

$0.2$ .

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Etapa 7.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some

3.721

$3.721$ e

1.922

$1.922$ .

5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962

$5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Etapa 7.2.2

Some

5.643

$5.643$ e

0.363

$0.363$ .

6.006 + 0.722 + 6.962

$6.006 + 0.722 + 6.962$

Etapa 7.2.3

Some

6.006

$6.006$ e

0.722

$0.722$ .

6.728 + 6.962

$6.728 + 6.962$

Etapa 7.2.4

Some

6.728

$6.728$ e

6.962

$6.962$ .

13.69

$13.69$

13.69

$13.69$

13.69

$13.69$

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