Estatística Exemplos

\begin{matrix} Class & Frequency 12 - 17 & 3 18 - 23 & 6 24 - 29 & 4 30 - 35 & 2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 12 - 17 & 3 \\ 18 - 23 & 6 \\ 24 - 29 & 4 \\ 30 - 35 & 2 \end{array}$

Etapa 1

Encontre o ponto médio

M

$M$ de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O limite inferior de cada classe é o menor valor dessa classe. Por outro lado, o limite superior de todas as classes é o maior valor dessa classe.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits 12 - 17 & 3 & 12 & 17 18 - 23 & 6 & 18 & 23 24 - 29 & 4 & 24 & 29 30 - 35 & 2 & 30 & 35 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 12 - 17 & 3 & 12 & 17 \\ 18 - 23 & 6 & 18 & 23 \\ 24 - 29 & 4 & 24 & 29 \\ 30 - 35 & 2 & 30 & 35 \end{array}$

Etapa 1.2

O ponto médio da classe é o limite inferior da classe mais o limite superior da classe dividido por

2

$2$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 12 - 17 & 3 & 12 & 17 & \frac{12 + 17}{2} 18 - 23 & 6 & 18 & 23 & \frac{18 + 23}{2} 24 - 29 & 4 & 24 & 29 & \frac{24 + 29}{2} 30 - 35 & 2 & 30 & 35 & \frac{30 + 35}{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 12 - 17 & 3 & 12 & 17 & \frac{12 + 17}{2} \\ 18 - 23 & 6 & 18 & 23 & \frac{18 + 23}{2} \\ 24 - 29 & 4 & 24 & 29 & \frac{24 + 29}{2} \\ 30 - 35 & 2 & 30 & 35 & \frac{30 + 35}{2} \end{array}$

Etapa 1.3

Simplifique toda a coluna do ponto médio.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 12 - 17 & 3 & 12 & 17 & 14.5 18 - 23 & 6 & 18 & 23 & 20.5 24 - 29 & 4 & 24 & 29 & 26.5 30 - 35 & 2 & 30 & 35 & 32.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 12 - 17 & 3 & 12 & 17 & 14.5 \\ 18 - 23 & 6 & 18 & 23 & 20.5 \\ 24 - 29 & 4 & 24 & 29 & 26.5 \\ 30 - 35 & 2 & 30 & 35 & 32.5 \end{array}$

Etapa 1.4

Adicione a coluna de pontos médios à tabela original.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 12 - 17 & 3 & 14.5 18 - 23 & 6 & 20.5 24 - 29 & 4 & 26.5 30 - 35 & 2 & 32.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 \end{array}$

Etapa 2

Calcule o quadrado do ponto médio de cada grupo

$M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 & {14.5}^{2} \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 & {20.5}^{2} \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 & {26.5}^{2} \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 & {32.5}^{2} \end{array}$

Etapa 3

Simplifique a coluna

$M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 & 210.25 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 & 420.25 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 & 702.25 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 & 1056.25 \end{array}$

Etapa 4

Multiplique o quadrado de cada ponto médio por sua frequência

$f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 & 210.25 & 3 \cdot 210.25 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 & 420.25 & 6 \cdot 420.25 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 & 702.25 & 4 \cdot 702.25 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 & 1056.25 & 2 \cdot 1056.25 \end{array}$

Etapa 5

Simplifique a coluna

$f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 & 210.25 & 630.75 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 & 420.25 & 2521.5 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 & 702.25 & 2809 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 & 1056.25 & 2112.5 \end{array}$

Etapa 6

Encontre a soma de todas as frequências. Neste caso, a soma de todas as frequências é

$n = 3, 6, 4, 2 = 15$ .

$\sum_{}^{} f = n = 15$

Etapa 7

Encontre a soma da coluna

$f \cdot M^{2}$ . Neste caso,

$630.75 + 2521.5 + 2809 + 2112.5 = 8073.75$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 8073.75$

Etapa 8

Encontre a média de

$μ$ .

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Etapa 8.1

Encontre o ponto médio

$M$ de cada classe.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 \end{array}$

Etapa 8.2

Multiplique a frequência de cada classe pelo ponto médio da classe.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 & 3 \cdot 14.5 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 & 6 \cdot 20.5 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 & 4 \cdot 26.5 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 & 2 \cdot 32.5 \end{array}$

Etapa 8.3

Simplifique a coluna

$f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 12 - 17 & 3 & 14.5 & 43.5 \\ 18 - 23 & 6 & 20.5 & 123 \\ 24 - 29 & 4 & 26.5 & 106 \\ 30 - 35 & 2 & 32.5 & 65 \end{array}$

Etapa 8.4

Some os valores na coluna

$f \cdot M$ .

$43.5 + 123 + 106 + 65 = 337.5$

Etapa 8.5

Some os valores na coluna de frequência.

$n = 3 + 6 + 4 + 2 = 15$

Etapa 8.6

A média ( mu ) é a soma de

$f \cdot M$ dividida por

$n$ , que é a soma das frequências.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Etapa 8.7

A média é a soma do produto dos pontos médios e das frequências dividida pelo total de frequências.

$μ = \frac{337.5}{15}$

Etapa 8.8

Simplifique o lado direito de

$μ = \frac{337.5}{15}$ .

$22.5$

Etapa 9

A equação do desvio padrão é

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Etapa 10

Substitua os valores calculados em

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{8073.75 - 15 {(22.5)}^{2}}{15 - 1}$

Etapa 11

Simplifique o lado direito de

$S^{2} = \frac{8073.75 - 15 {(22.5)}^{2}}{15 - 1}$ para obter a variância

$S^{2} = 34.\overline{285714}$ .

$34.28571428$

Etapa 12

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância

$34.\overline{285714}$ . Nesse caso, o desvio padrão é

$5.85540043$ .

$5.85540043$

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