Pré-cálculo Exemplos

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(2, 9)

$(2, 9)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

2

$2$ por

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

Etapa 2.2.2

Some

2

$2$ e

18

$18$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

a⃗ \cdot b⃗ = 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

a⃗ \cdot b⃗ = 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

Etapa 3

Encontre a magnitude de

a⃗

$a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Etapa 3.2.3

Some

1

$1$ e

4

$4$ .

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de

b⃗

$b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve

9

$9$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Etapa 4.2.3

Some

4

$4$ e

81

$81$ .

| b⃗ | = \sqrt{85}

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

| b⃗ | = \sqrt{85}

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

| b⃗ | = \sqrt{85}

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Etapa 6.1.2

Multiplique

5

$5$ por

85

$85$ .

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva

425

$425$ como

5^{2} \cdot 17

$5^{2} \cdot 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore

25

$25$ de

425

$425$ .

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva

25

$25$ como

5^{2}

$5^{2}$ .

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

θ = arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

θ = arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de

20

$20$ e

5

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore

5

$5$ de

20

$20$ .

θ = arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore

5

$5$ de

5 \sqrt{17}

$5 \sqrt{17}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Etapa 6.4

Multiplique

$\frac{4}{\sqrt{17}}$ por

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Etapa 6.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique

$\frac{4}{\sqrt{17}}$ por

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Etapa 6.5.2

Eleve

$\sqrt{17}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Etapa 6.5.3

Eleve

$\sqrt{17}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Etapa 6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.5.5

Some

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Etapa 6.5.6

Reescreva

${\sqrt{17}}^{2}$ como

$17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{17}$ como

$17^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.5.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Etapa 6.5.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Etapa 6.6

Avalie

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 14.03624346$

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