Pré-cálculo Exemplos

$(- 7, 7)$ , $(3, 9)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot 3 + 7 \cdot 9$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 7 \cdot 9$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $7$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 63$

Etapa 2.2.2

Some $- 21$ e $63$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 42$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 7^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 7^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 49}$

Etapa 3.2.3

Some $49$ e $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{98}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $98$ como $7^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $49$ de $98$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| a⃗ | = 7 \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Etapa 4.2.3

Some $9$ e $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $90$ como $3^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Fatore $9$ de $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{42}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $42$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $7$ de $42$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $7$ de $7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $3$ de $\sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{20}})$

Etapa 6.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Fatore $4$ de $20$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (5)}})$

Etapa 6.4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Etapa 6.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Etapa 6.5.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Etapa 6.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 6.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Etapa 6.7.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Etapa 6.7.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Etapa 6.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.7.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Etapa 6.7.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Etapa 6.7.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 6.8

Avalie $\arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 63.43494882$

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