Pré-cálculo Exemplos

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

Etapa 2.2.2

Some $2$ e $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Etapa 3.2.3

Some $1$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Etapa 4.2.3

Some $4$ e $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Etapa 6.1.2

Multiplique $5$ por $85$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $425$ como $5^{2} \cdot 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $25$ de $425$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $20$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $5$ de $20$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt{17}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Etapa 6.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Etapa 6.5.2

Eleve $\sqrt{17}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Etapa 6.5.3

Eleve $\sqrt{17}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Etapa 6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.5.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Etapa 6.5.6

Reescreva ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Etapa 6.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Etapa 6.5.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Etapa 6.6

Avalie $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 14.03624346$

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