Pré-cálculo Exemplos

12

$12$ ,

4

$4$ ,

\frac{4}{3}

$\frac{4}{3}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica:

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$

Etapa 2

A soma de uma série

S_{n}

$S_{n}$ é calculada com a fórmula

S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Para a soma de uma série geométrica infinita

S_{\infty}

$S_{\infty}$ , à medida que

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ ,

1 - r^{n}

$1 - r^{n}$ se aproxima de

1

$1$ . Portanto,

\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ se aproxima de

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ .

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Etapa 3

Os valores

a = 12

$a = 12$ e

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$ podem ser colocados na equação

S_{\infty}

$S_{\infty}$ .

S_{\infty} = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}}

$S_{\infty} = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 4

Simplifique a equação para encontrar

S_{\infty}

$S_{\infty}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

S_{\infty} = \frac{12}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

S_{\infty} = \frac{12}{\frac{3 - 1}{3}}

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{3 - 1}{3}}$

Etapa 4.1.3

Subtraia

1

$1$ de

3

$3$ .

S_{\infty} = \frac{12}{\frac{2}{3}}

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{2}{3}}$

S_{\infty} = \frac{12}{\frac{2}{3}}

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

S_{\infty} = 12 (\frac{3}{2})

$S_{\infty} = 12 (\frac{3}{2})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore

2

$2$ de

12

$12$ .

S_{\infty} = 2 (6) (\frac{3}{2})

$S_{\infty} = 2 (6) (\frac{3}{2})$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$S_{\infty} = 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$S_{\infty} = 6 \cdot 3$

Etapa 4.4

Multiplique

$6$ por

$3$ .

$S_{\infty} = 18$

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