Pré-cálculo Exemplos

\frac{2 x + 6}{x} < 1

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Etapa 1

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da desigualdade.

\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Etapa 2

Simplifique

\frac{2 x + 6}{x} - 1

$\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore

2

$2$ de

2 x + 6

$2 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore

2

$2$ de

2 x

$2 x$ .

\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Etapa 2.1.2

Fatore

2

$2$ de

6

$6$ .

\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Etapa 2.1.3

Fatore

2

$2$ de

2 x + 2 \cdot 3

$2 x + 2 \cdot 3$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Etapa 2.2

Para escrever

- 1

$- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Etapa 2.3

Combine

- 1

$- 1$ e

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique

2

$2$ por

3

$3$ .

\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Etapa 2.5.3

Subtraia

x

$x$ de

2 x

$2 x$ .

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a

0

$0$ . Depois, resolva.

x = 0

$x = 0$

x + 6 = 0

$x + 6 = 0$

Etapa 4

Subtraia

6

$6$ dos dois lados da equação.

x = - 6

$x = - 6$

Etapa 5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

x = 0

$x = 0$

x = - 6

$x = - 6$

Etapa 6

Consolide as soluções.

x = 0, - 6

$x = 0, - 6$

Etapa 7

Encontre o domínio de

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ como igual a

0

$0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

x = 0

$x = 0$

Etapa 7.2

O domínio consiste em todos os valores de

x

$x$ que tornam a expressão definida.

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

x < - 6

$x < - 6$

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo

x < - 6

$x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo

x < - 6

$x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = - 8

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua

x

$x$ por

- 8

$- 8$ na desigualdade original.

\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo

1.25

$1.25$ não é menor do que o lado direito

1

$1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = - 3

$x = - 3$

Etapa 9.2.2

Substitua

x

$x$ por

- 3

$- 3$ na desigualdade original.

\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo

0

$0$ é menor do que o lado direito

1

$1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo

x > 0

$x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo

x > 0

$x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = 2

$x = 2$

Etapa 9.3.2

Substitua

x

$x$ por

2

$2$ na desigualdade original.

\frac{2 (2) + 6}{2} < 1

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo

5

$5$ não é menor do que o lado direito

1

$1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

x < - 6

$x < - 6$ Falso

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

x > 0

$x > 0$ Falso

x < - 6

$x < - 6$ Falso

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

x > 0

$x > 0$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

Notação de intervalo:

(- 6, 0)

$(- 6, 0)$

Etapa 12

Insira SEU problema