Pré-cálculo Exemplos

A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Etapa 1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use o gráfico de sinais e a matriz determinada para encontrar o cofator de cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calcule o menor do elemento

a_{11}

$a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique

5

$5$ por

9

$9$ .

a_{11} = 45 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique

- 8

$- 8$ por

6

$6$ .

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia

48

$48$ de

45

$45$ .

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

Etapa 2.2

Calcule o menor do elemento

a_{12}

$a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

9

$9$ .

a_{12} = 36 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique

- 7

$- 7$ por

6

$6$ .

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia

42

$42$ de

36

$36$ .

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

Etapa 2.3

Calcule o menor do elemento

a_{13}

$a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

8

$8$ .

a_{13} = 32 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique

- 7

$- 7$ por

5

$5$ .

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia

35

$35$ de

32

$32$ .

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

Etapa 2.4

Calcule o menor do elemento

a_{21}

$a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O menor para

a_{21}

$a_{21}$ é o determinante com a linha

2

$2$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

9

$9$ .

a_{21} = 18 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique

- 8

$- 8$ por

3

$3$ .

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia

24

$24$ de

18

$18$ .

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

Etapa 2.5

Calcule o menor do elemento

a_{22}

$a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O menor para

a_{22}

$a_{22}$ é o determinante com a linha

2

$2$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique

9

$9$ por

1

$1$ .

a_{22} = 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique

- 7

$- 7$ por

3

$3$ .

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia

21

$21$ de

9

$9$ .

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

Etapa 2.6

Calcule o menor do elemento

a_{23}

$a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O menor para

a_{23}

$a_{23}$ é o determinante com a linha

2

$2$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique

8

$8$ por

1

$1$ .

a_{23} = 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique

- 7

$- 7$ por

2

$2$ .

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia

14

$14$ de

8

$8$ .

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

Etapa 2.7

Calcule o menor do elemento

a_{31}

$a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O menor para

a_{31}

$a_{31}$ é o determinante com a linha

3

$3$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

6

$6$ .

a_{31} = 12 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique

- 5

$- 5$ por

3

$3$ .

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia

15

$15$ de

12

$12$ .

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

Etapa 2.8

Calcule o menor do elemento

a_{32}

$a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

O menor para

a_{32}

$a_{32}$ é o determinante com a linha

3

$3$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique

6

$6$ por

1

$1$ .

a_{32} = 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

3

$3$ .

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

Etapa 2.8.2.2.2

Subtraia

12

$12$ de

6

$6$ .

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

Etapa 2.9

Calcule o menor do elemento

a_{33}

$a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

O menor para

a_{33}

$a_{33}$ é o determinante com a linha

3

$3$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique

5

$5$ por

1

$1$ .

a_{33} = 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

2

$2$ .

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia

8

$8$ de

5

$5$ .

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

Etapa 2.10

A matriz de cofatores é uma matriz dos menores com o sinal alterado para os elementos nas posições

-

$-$ no gráfico de sinais.

[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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