Pré-cálculo Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & - 1 1 & 6 & 3 2 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & 3 - 4 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)

$a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique

6

$6$ por

0

$0$ .

a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)

$a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique

- (- 4 \cdot 3)

$- (- 4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

3

$3$ .

a_{11} = 0 - - 12

$a_{11} = 0 - - 12$

Etapa 2.1.2.2.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 12

$- 12$ .

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

Etapa 2.1.2.2.2

Some

0

$0$ e

12

$12$ .

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

Etapa 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique

$0$ por

$1$ .

$a_{12} = 0 - 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$3$ .

$a_{12} = 0 - 6$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia

$6$ de

$0$ .

$a_{12} = - 6$

Etapa 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$6$ .

$a_{13} = - 4 - 12$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia

$12$ de

$- 4$ .

$a_{13} = - 16$

Etapa 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique

$- (- 4 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.2.1

Multiplique

$- 4$ por

$- 1$ .

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.2.1.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$a_{21} = 0 - 4$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$0$ .

$a_{21} = - 4$

Etapa 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$0$ .

$a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$- 1$ .

$a_{22} = 0 + 2$

Etapa 2.5.2.2.2

Some

$0$ e

$2$ .

$a_{22} = 2$

Etapa 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$- 4$ .

$a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$2$ .

$a_{23} = - 12 - 4$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$- 12$ .

$a_{23} = - 16$

Etapa 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique

$- 6$ por

$- 1$ .

$a_{31} = 6 + 6$

Etapa 2.7.2.2.2

Some

$6$ e

$6$ .

$a_{31} = 12$

Etapa 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$a_{32} = 9 + 1$

Etapa 2.8.2.2.2

Some

$9$ e

$1$ .

$a_{32} = 10$

Etapa 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$6$ .

$a_{33} = 18 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$a_{33} = 18 - 2$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia

$2$ de

$18$ .

$a_{33} = 16$

Etapa 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

Etapa 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 12 & 4 & 12 \\ 6 & 2 & - 10 \\ - 16 & 16 & 16 \end{array}]$

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