Pré-cálculo Exemplos

$A = [\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use o gráfico de sinais e a matriz determinada para encontrar o cofator de cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calcule o menor do elemento $a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$a_{11} = 12 - 8$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$a_{11} = 4$

Etapa 2.2

Calcule o menor do elemento $a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$a_{12} = 12 - 4$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$a_{12} = 8$

Etapa 2.3

Calcule o menor do elemento $a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$a_{13} = 8 - 4$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$a_{13} = 4$

Etapa 2.4

Calcule o menor do elemento $a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O menor para $a_{21}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$a_{21} = 4$

Etapa 2.5

Calcule o menor do elemento $a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O menor para $a_{22}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia $1$ de $9$ .

$a_{22} = 8$

Etapa 2.6

Calcule o menor do elemento $a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O menor para $a_{23}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$a_{23} = 4$

Etapa 2.7

Calcule o menor do elemento $a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O menor para $a_{31}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$a_{31} = 4$

Etapa 2.8

Calcule o menor do elemento $a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

O menor para $a_{32}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Etapa 2.8.2.2.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$a_{32} = 8$

Etapa 2.9

Calcule o menor do elemento $a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

O menor para $a_{33}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$a_{33} = 4$

Etapa 2.10

A matriz de cofatores é uma matriz dos menores com o sinal alterado para os elementos nas posições $-$ no gráfico de sinais.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

Etapa 3

Transponha a matriz trocando suas linhas por colunas.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 4 \\ - 8 & 8 & - 8 \\ 4 & - 4 & 4 \end{array}]$

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