Pré-cálculo Exemplos

f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Etapa 1

Encontre onde a expressão

\frac{1}{10^{x}} + 4

$\frac{1}{10^{x}} + 4$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie

lim x \to \infty \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim x \to \infty 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

x

$x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{lim x \to \infty 1 + lim x \to \infty 4 \cdot 10^{x}}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.1.2

Avalie o limite de

1

$1$ , que é constante à medida que

x

$x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{1 + lim x \to \infty 4 \cdot 10^{x}}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

\frac{1 + lim x \to \infty 4 \cdot 10^{x}}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.2

Como a função

10^{x}

$10^{x}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a constante positiva

4

$4$ vezes a função também se aproxima de

\infty

$\infty$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante

4

$4$ removido.

\frac{1 + lim x \to \infty 10^{x}}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.2.2

Como o expoente

x

$x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a quantidade

10^{x}

$10^{x}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{1 + \infty}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

\frac{1 + \infty}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.3

Infinito mais ou menos um número é infinito.

\frac{\infty}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

\frac{\infty}{lim x \to \infty 10^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.3

Como o expoente

x

$x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a quantidade

10^{x}

$10^{x}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim x \to \infty \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

1 + 4 \cdot 10^{x}

$1 + 4 \cdot 10^{x}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.3

Como

1

$1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

1

$1$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

lim x \to \infty \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie

\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.4.1

Como

4

$4$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

4 \cdot 10^{x}

$4 \cdot 10^{x}$ em relação a

x

$x$ é

4 \frac{d}{d x} [10^{x}]

$4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

lim x \to \infty \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ , em que

a

$a$ =

10

$10$ .

lim x \to \infty \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

lim x \to \infty \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.5

Some

0

$0$ e

4 \cdot 10^{x} ln (10)

$4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

lim x \to \infty \frac{4 \cdot 10^{x} ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ , em que

a

$a$ =

10

$10$ .

lim x \to \infty \frac{4 \cdot 10^{x} ln (10)}{10^{x} ln (10)}

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

lim x \to \infty \frac{4 \cdot 10^{x} ln (10)}{10^{x} ln (10)}

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Etapa 3.1.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum de

10^{x}

$10^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Etapa 3.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele o fator comum de

$\ln (10)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Etapa 3.1.4.2.2

Divida

$4$ por

$1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Etapa 3.2

Avalie o limite de

$4$ , que é constante à medida que

$x$ se aproxima de

$\infty$ .

$4$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 4$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais:

$y = 4$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7

Insira SEU problema