Pré-cálculo Exemplos

f (x) = 3 x^{2} - 5

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Etapa 1

Encontre cada combinação de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ .

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1, \pm 5

$p = \pm 1, \pm 5$

q = \pm 1, \pm 3

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em

\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}$ quando

x = 5

$x = 5$ .

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Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo

(3)

$(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(3)

$(3)$ pelo divisor

(5)

$(5)$ e coloque o resultado de

(15)

$(15)$ sob o próximo termo no dividendo

(0)

$(0)$ .

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$
	$3$ $3$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$
	$3$ $3$	$15$ $15$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(15)

$(15)$ pelo divisor

(5)

$(5)$ e coloque o resultado de

(75)

$(75)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 5)

$(- 5)$ .

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$15$ $15$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$15$ $15$	$70$ $70$

Etapa 2.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}

$(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Etapa 2.8

Simplifique o polinômio do quociente.

3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Etapa 3

Como

5 > 0

$5 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos,

5

$5$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior:

5

$5$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em

\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}$ quando

x = - 5

$x = - 5$ .

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Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo

(3)

$(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(3)

$(3)$ pelo divisor

(- 5)

$(- 5)$ e coloque o resultado de

(- 15)

$(- 15)$ sob o próximo termo no dividendo

(0)

$(0)$ .

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$
	$3$ $3$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$
	$3$ $3$	$- 15$ $- 15$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 15)

$(- 15)$ pelo divisor

(- 5)

$(- 5)$ e coloque o resultado de

(75)

$(75)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 5)

$(- 5)$ .

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$- 15$ $- 15$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$- 15$ $- 15$	$70$ $70$

Etapa 4.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}

$(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Etapa 4.8

Simplifique o polinômio do quociente.

3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Etapa 5

Como

- 5 < 0

$- 5 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam,

- 5

$- 5$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior:

- 5

$- 5$

Etapa 6

Aplique a divisão sintética em

\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}$ quando

x = \frac{5}{3}

$x = \frac{5}{3}$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo

(3)

$(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(3)

$(3)$ pelo divisor

(\frac{5}{3})

$(\frac{5}{3})$ e coloque o resultado de

(5)

$(5)$ sob o próximo termo no dividendo

(0)

$(0)$ .

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$
	$3$ $3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$
	$3$ $3$	$5$ $5$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(5)

$(5)$ pelo divisor

(\frac{5}{3})

$(\frac{5}{3})$ e coloque o resultado de

(\frac{25}{3})

$(\frac{25}{3})$ sob o próximo termo no dividendo

(- 5)

$(- 5)$ .

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$5$ $5$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$5$ $5$	$\frac{10}{3}$ $\frac{10}{3}$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}

$(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

Etapa 7

Como

\frac{5}{3} > 0

$\frac{5}{3} > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos,

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior:

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Etapa 8

Aplique a divisão sintética em

\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}$ quando

x = - \frac{5}{3}

$x = - \frac{5}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

Etapa 8.2

O primeiro número no dividendo

(3)

$(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

Etapa 8.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(3)

$(3)$ pelo divisor

(- \frac{5}{3})

$(- \frac{5}{3})$ e coloque o resultado de

(- 5)

$(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo

(0)

$(0)$ .

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$
	$3$ $3$

Etapa 8.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$
	$3$ $3$	$- 5$ $- 5$

Etapa 8.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 5)

$(- 5)$ pelo divisor

(- \frac{5}{3})

$(- \frac{5}{3})$ e coloque o resultado de

(\frac{25}{3})

$(\frac{25}{3})$ sob o próximo termo no dividendo

(- 5)

$(- 5)$ .

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$- 5$ $- 5$

Etapa 8.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$- 5$ $- 5$	$\frac{10}{3}$ $\frac{10}{3}$

Etapa 8.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}

$(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}$

Etapa 8.8

Simplifique o polinômio do quociente.

3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

Etapa 9

Como

- \frac{5}{3} < 0

$- \frac{5}{3} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam,

- \frac{5}{3}

$- \frac{5}{3}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior:

- \frac{5}{3}

$- \frac{5}{3}$

Etapa 10

Determine os limites superior e inferior.

Limites superiores:

5, \frac{5}{3}

$5, \frac{5}{3}$

Limites inferiores:

- 5, - \frac{5}{3}

$- 5, - \frac{5}{3}$

Etapa 11

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