Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Etapa 5.3.7

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.3.8

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.3.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 1, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(1, 0)$

Etapa 6.4

O segundo vértice de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (1), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 1, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 8.3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 8.3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Etapa 8.3.8

Subtraia $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 8.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 8.3.10

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 8.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

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