Pré-cálculo Exemplos

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm uma variável para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia

52

$52$ dos dois lados da equação.

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Etapa 1.2

Subtraia

52

$52$ de

3

$3$ .

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Etapa 2

Complete o quadrado de

4 x^{2} + 8 x

$4 x^{2} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 8

$b = 8$

c = 0

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de

8

$8$ e

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore

2

$2$ de

8

$8$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 2.4

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve

$8$ à potência de

$2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique

$4$ por

$4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 2.4.2.1.3

Divida

$64$ por

$16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia

$4$ de

$0$ .

$e = - 4$

Etapa 2.5

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Etapa 3

Substitua

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ por

$4 x^{2} + 8 x$ na equação

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Etapa 4

Mova

$- 4$ para o lado direito da equação, somando

$4$ aos dois lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Etapa 5

Complete o quadrado de

$9 y^{2} + 54 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

$a$ ,

$b$ e

$c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de

$d$ usando a fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de

$a$ e

$b$ na fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de

$54$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore

$2$ de

$54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore

$2$ de

$2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{27}{9}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de

$27$ e

$9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore

$9$ de

$27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Fatore

$9$ de

$9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{1}$

Etapa 5.3.2.2.2.4

Divida

$3$ por

$1$ .

$d = 3$

Etapa 5.4

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve

$54$ à potência de

$2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique

$4$ por

$9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida

$2916$ por

$36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique

$- 1$ por

$81$ .

$e = 0 - 81$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia

$81$ de

$0$ .

$e = - 81$

Etapa 5.5

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Etapa 6

Substitua

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ por

$9 y^{2} + 54 y$ na equação

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Etapa 7

Mova

$- 81$ para o lado direito da equação, somando

$81$ aos dois lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Etapa 8

Simplifique

$- 49 + 4 + 81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some

$- 49$ e

$4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Etapa 8.2

Some

$- 45$ e

$81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Etapa 9

Divida cada termo por

$36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a

$1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja

$1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

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