Pré-cálculo Exemplos

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Etapa 1

Escreva

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ como uma equação.

y = 7 x^{2} + 5 x - 4

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Etapa 2

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1

Complete o quadrado de

7 x^{2} + 5 x - 4

$7 x^{2} + 5 x - 4$ .

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Etapa 2.1.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 7

$a = 7$

b = 5

$b = 5$

c = - 4

$c = - 4$

Etapa 2.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{5}{2 \cdot 7}

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique

2

$2$ por

7

$7$ .

d = \frac{5}{14}

$d = \frac{5}{14}$

d = \frac{5}{14}

$d = \frac{5}{14}$

Etapa 2.1.4

Encontre o valor de

e

$e$ usando a fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Substitua os valores de

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ na fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

Etapa 2.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.2.1.1

Eleve

5

$5$ à potência de

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

Etapa 2.1.4.2.1.2

Multiplique

4

$4$ por

7

$7$ .

e = - 4 - \frac{25}{28}

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

e = - 4 - \frac{25}{28}

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.2

Para escrever

- 4

$- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{28}{28}

$\frac{28}{28}$ .

e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.3

Combine

- 4

$- 4$ e

\frac{28}{28}

$\frac{28}{28}$ .

e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.4.2.5.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

28

$28$ .

e = \frac{- 112 - 25}{28}

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.5.2

Subtraia

25

$25$ de

- 112

$- 112$ .

e = \frac{- 137}{28}

$e = \frac{- 137}{28}$

e = \frac{- 137}{28}

$e = \frac{- 137}{28}$

Etapa 2.1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

Etapa 2.1.5

Substitua os valores de

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ na forma do vértice

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ .

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Etapa 2.2

Defina

y

$y$ como igual ao novo lado direito.

y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Etapa 3

Use a forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

a

$a$ ,

h

$h$ e

k

$k$ .

a = 7

$a = 7$

h = - \frac{5}{14}

$h = - \frac{5}{14}$

k = - \frac{137}{28}

$k = - \frac{137}{28}$

Etapa 4

Como o valor de

a

$a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 5

Encontre o vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Etapa 6

Encontre

p

$p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 6.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 6.2

Substitua o valor de

a

$a$ na fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 7}

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Etapa 6.3

Multiplique

4

$4$ por

7

$7$ .

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$

Etapa 7

Encontre o foco.

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Etapa 7.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

p

$p$ com a coordenada y

k

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

p

$p$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Etapa 8

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

x = - \frac{5}{14}

$x = - \frac{5}{14}$

Etapa 9

Encontre a diretriz.

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Etapa 9.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

p

$p$ da coordenada y

k

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

y = k - p

$y = k - p$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos de

p

$p$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

Etapa 10

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice:

(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Foco:

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Eixo de simetria:

x = - \frac{5}{14}

$x = - \frac{5}{14}$

Diretriz:

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

Etapa 11

Insira SEU problema