Pré-cálculo Exemplos

$- \frac{6 y}{(y + 4) (y - 2)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar

$A$ .

$\frac{A}{y + 4}$

Etapa 1.2

$B$ .

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é

$(y + 4) (y - 2)$ .

$- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de

$y + 4$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de

$y - 2$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.5.2

Divida

$6 y$ por

$1$ .

$- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.6

Multiplique

$6$ por

$- 1$ .

$- 6 y = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de

$y + 4$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$- 6 y = \frac{A (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.7.1.2

Divida

$(A) (y - 2)$ por

$1$ .

$- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 y = A y + A \cdot - 2 + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.7.3

Mova

$- 2$ para a esquerda de

$A$ .

$- 6 y = A y - 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de

$y - 2$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- 6 y = A y - 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Etapa 1.7.4.2

Divida

$(B) (y + 4)$ por

$1$ .

$- 6 y = A y - 2 A + (B) (y + 4)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 y = A y - 2 A + B y + B \cdot 4$

Etapa 1.7.6

Mova

$4$ para a esquerda de

$B$ .

$- 6 y = A y - 2 A + B y + 4 B$

Etapa 1.8

Mova

$- 2 A$ .

$- 6 y = A y + B y - 2 A + 4 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de

$y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 6 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm

$y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 A + 4 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 6 = A + B$

$0 = - 2 A + 4 B$

$- 6 = A + B$

$0 = - 2 A + 4 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva

$A$ em

$- 6 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como

$A + B = - 6$ .

$A + B = - 6$

$0 = - 2 A + 4 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia

$B$ dos dois lados da equação.

$A = - 6 - B$

$0 = - 2 A + 4 B$

$A = - 6 - B$

$0 = - 2 A + 4 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de

$A$ por

$- 6 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de

$A$ em

$0 = - 2 A + 4 B$ por

$- 6 - B$ .

$0 = - 2 (- 6 - B) + 4 B$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique

$- 2 (- 6 - B) + 4 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 2 \cdot - 6 - 2 (- B) + 4 B$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$- 6$ .

$0 = 12 - 2 (- B) + 4 B$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique

$- 1$ por

$- 2$ .

$0 = 12 + 2 B + 4 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 2 B + 4 B$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some

$2 B$ e

$4 B$ .

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.3

Resolva

$B$ em

$0 = 12 + 6 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como

$12 + 6 B = 0$ .

$12 + 6 B = 0$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia

$12$ dos dois lados da equação.

$6 B = - 12$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em

$6 B = - 12$ por

$6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em

$6 B = - 12$ por

$6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de

$6$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida

$B$ por

$1$ .

$B = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

$B = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

$B = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida

$- 12$ por

$6$ .

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de

$B$ por

$- 2$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de

$B$ em

$A = - 6 - B$ por

$- 2$ .

$A = - 6 - (- 2)$

$B = - 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique

$- 6 - (- 2)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 2$ .

$A = - 6 + 2$

$B = - 2$

Etapa 3.4.2.1.2

Some

$- 6$ e

$2$ .

$A = - 4$

$B = - 2$

$A = - 4$

$B = - 2$

$A = - 4$

$B = - 2$

$A = - 4$

$B = - 2$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - 4, B = - 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}$ pelos valores encontrados para

$A$ e

$B$ .

$\frac{- 4}{y + 4} + \frac{- 2}{y - 2}$

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