Pré-cálculo Exemplos

\frac{6 x}{(x - 2) (x + 2)}

$\frac{6 x}{(x - 2) (x + 2)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar

A

$A$ .

\frac{A}{x - 2}

$\frac{A}{x - 2}$

Etapa 1.2

B

$B$ .

\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é

(x - 2) (x + 2)

$(x - 2) (x + 2)$ .

\frac{6 x (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$\frac{6 x (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de

x - 2

$x - 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

\frac{6 x (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$\frac{6 x (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de

x + 2

$x + 2$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.5.2

Divida

6 x

$6 x$ por

1

$1$ .

6 x = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

6 x = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de

x - 2

$x - 2$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

6 x = \frac{A (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = \frac{A (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.1.2

Divida

(A) (x + 2)

$(A) (x + 2)$ por

1

$1$ .

6 x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

6 x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

6 x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.3

Mova

2

$2$ para a esquerda de

A

$A$ .

6 x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de

x + 2

$x + 2$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

6 x = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}

$6 x = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.6.4.2

Divida

(B) (x - 2)

$(B) (x - 2)$ por

1

$1$ .

6 x = A x + 2 A + (B) (x - 2)

$6 x = A x + 2 A + (B) (x - 2)$

6 x = A x + 2 A + (B) (x - 2)

$6 x = A x + 2 A + (B) (x - 2)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

6 x = A x + 2 A + B x + B \cdot - 2

$6 x = A x + 2 A + B x + B \cdot - 2$

Etapa 1.6.6

Mova

- 2

$- 2$ para a esquerda de

B

$B$ .

6 x = A x + 2 A + B x - 2 B

$6 x = A x + 2 A + B x - 2 B$

6 x = A x + 2 A + B x - 2 B

$6 x = A x + 2 A + B x - 2 B$

Etapa 1.7

Mova

2 A

$2 A$ .

6 x = A x + B x + 2 A - 2 B

$6 x = A x + B x + 2 A - 2 B$

6 x = A x + B x + 2 A - 2 B

$6 x = A x + B x + 2 A - 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de

x

$x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

6 = A + B

$6 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm

x

$x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

6 = A + B

$6 = A + B$

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$

6 = A + B

$6 = A + B$

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva

A

$A$ em

6 = A + B

$6 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como

A + B = 6

$A + B = 6$ .

A + B = 6

$A + B = 6$

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia

B

$B$ dos dois lados da equação.

A = 6 - B

$A = 6 - B$

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de

A

$A$ por

6 - B

$6 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de

A

$A$ em

0 = 2 A - 2 B

$0 = 2 A - 2 B$ por

6 - B

$6 - B$ .

0 = 2 (6 - B) - 2 B

$0 = 2 (6 - B) - 2 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique

2 (6 - B) - 2 B

$2 (6 - B) - 2 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

0 = 2 \cdot 6 + 2 (- B) - 2 B

$0 = 2 \cdot 6 + 2 (- B) - 2 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique

2

$2$ por

6

$6$ .

0 = 12 + 2 (- B) - 2 B

$0 = 12 + 2 (- B) - 2 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

0 = 12 - 2 B - 2 B

$0 = 12 - 2 B - 2 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

0 = 12 - 2 B - 2 B

$0 = 12 - 2 B - 2 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia

2 B

$2 B$ de

- 2 B

$- 2 B$ .

0 = 12 - 4 B

$0 = 12 - 4 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

0 = 12 - 4 B

$0 = 12 - 4 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

0 = 12 - 4 B

$0 = 12 - 4 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

0 = 12 - 4 B

$0 = 12 - 4 B$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.3

Resolva

B

$B$ em

0 = 12 - 4 B

$0 = 12 - 4 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como

12 - 4 B = 0

$12 - 4 B = 0$ .

12 - 4 B = 0

$12 - 4 B = 0$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia

12

$12$ dos dois lados da equação.

- 4 B = - 12

$- 4 B = - 12$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em

- 4 B = - 12

$- 4 B = - 12$ por

- 4

$- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em

- 4 B = - 12

$- 4 B = - 12$ por

- 4

$- 4$ .

\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de

- 4

$- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida

B

$B$ por

1

$1$ .

B = \frac{- 12}{- 4}

$B = \frac{- 12}{- 4}$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

B = \frac{- 12}{- 4}

$B = \frac{- 12}{- 4}$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

B = \frac{- 12}{- 4}

$B = \frac{- 12}{- 4}$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Divida

- 12

$- 12$ por

- 4

$- 4$ .

B = 3

$B = 3$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

B = 3

$B = 3$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

B = 3

$B = 3$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

B = 3

$B = 3$

A = 6 - B

$A = 6 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de

B

$B$ por

3

$3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de

B

$B$ em

A = 6 - B

$A = 6 - B$ por

3

$3$ .

A = 6 - (3)

$A = 6 - (3)$

B = 3

$B = 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique

6 - (3)

$6 - (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

A = 6 - 3

$A = 6 - 3$

B = 3

$B = 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Subtraia

3

$3$ de

6

$6$ .

A = 3

$A = 3$

B = 3

$B = 3$

A = 3

$A = 3$

B = 3

$B = 3$

A = 3

$A = 3$

B = 3

$B = 3$

A = 3

$A = 3$

B = 3

$B = 3$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

A = 3, B = 3

$A = 3, B = 3$

A = 3, B = 3

$A = 3, B = 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em

\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para

A

$A$ e

B

$B$ .

\frac{3}{x - 2} + \frac{3}{x + 2}

$\frac{3}{x - 2} + \frac{3}{x + 2}$

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