Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1

Fatore $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.5

Some $1$ e $4$ .

$5 + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.6

Some $5$ e $1$ .

$6 - 6$

Etapa 1.1.3.7

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Divida $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Etapa 1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} - 5 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Etapa 1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Etapa 1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Etapa 1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 5 x + 6$

Etapa 1.1.6

Escreva $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 4.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$f (x) = x - 1$

Etapa 5

Para encontrar os furos no gráfico, observe os fatores denominadores que foram cancelados.

$x + 2, x + 3$

Etapa 6

Para encontrar as coordenadas dos furos, defina cada fator que foi cancelado igual a $0$ , resolva e substitua novamente por $x - 1$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.3

Substitua $- 2$ por $x$ em $x - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Substitua $- 2$ por $x$ para encontrar a coordenada $y$ do furo.

$- 2 - 1$

Etapa 6.3.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Etapa 6.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.5

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.6

Substitua $- 3$ por $x$ em $x - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.6.1

Substitua $- 3$ por $x$ para encontrar a coordenada $y$ do furo.

$- 3 - 1$

Etapa 6.6.2

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$- 4$

Etapa 6.7

Os furos no gráfico são os pontos em que qualquer um dos fatores cancelados é igual a $0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Etapa 7

Insira SEU problema