Exemplos

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 3 x$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ .

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.5.2

Divida $x - 3$ por $1$ .

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (x^{2} + 3)$ por $1$ .

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.6.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.6.1

Mova $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.6.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.7

Mova $3 A$ .

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = 3 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 1$ .

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Reescreva a equação como $3 A = - 3$ .

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $3 A = - 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $3 A = - 3$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $3$ .

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Etapa 3.4

Resolva $B$ em $0 = - 1 + B$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = - 1 C = 1$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = - 1, C = 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$

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