Exemplos

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Etapa 1

Fatore

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Etapa 1.3

Substitua

2

$2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

0

$0$ . Portanto,

2

$2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua

2

$2$ no polinômio.

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Etapa 1.3.2

Eleve

2

$2$ à potência de

3

$3$ .

8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Etapa 1.3.3

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Etapa 1.3.4

Multiplique

- 6

$- 6$ por

4

$4$ .

8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Etapa 1.3.5

Subtraia

24

$24$ de

8

$8$ .

- 16 + 12 \cdot 2 - 8

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Etapa 1.3.6

Multiplique

12

$12$ por

2

$2$ .

- 16 + 24 - 8

$- 16 + 24 - 8$

Etapa 1.3.7

Some

- 16

$- 16$ e

24

$24$ .

8 - 8

$8 - 8$

Etapa 1.3.8

Subtraia

8

$8$ de

8

$8$ .

0

$0$

0

$0$

Etapa 1.4

Como

2

$2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

x - 2

$x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Etapa 1.5

Divida

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ por

x - 2

$x - 2$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

8

$8$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

x^{3}

$x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$8 x$ $8 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

- 4 x^{2} + 8 x

$- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

4 x

$4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

4 x - 8

$4 x - 8$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
										$0$ $0$

Etapa 1.5.16

Since the remainder is

0

$0$ , the final answer is the quotient.

x^{2} - 4 x + 4

$x^{2} - 4 x + 4$

x^{2} - 4 x + 4

$x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 1.6

Escreva

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ como um conjunto de fatores.

(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

4 x = 2 \cdot x \cdot 2

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que

a = x

$a = x$ e

b = 2

$b = 2$ .

(x - 2) {(x - 2)}^{2}

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

(x - 2) {(x - 2)}^{2}

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3

Combine como fatores.

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Etapa 3.1

Eleve

x - 2

$x - 2$ à potência de

1

$1$ .

{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

{(x - 2)}^{1 + 2}

${(x - 2)}^{1 + 2}$

Etapa 3.3

Some

1

$1$ e

2

$2$ .

{(x - 2)}^{3}

${(x - 2)}^{3}$

{(x - 2)}^{3}

${(x - 2)}^{3}$

Etapa 4

Como o polinômio pode ser fatorado, ele não é primo.

Não é primo

Insira SEU problema