Exemplos

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por

16

$16$ para que o lado direito seja igual a um.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a

1

$1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável

a

$a$ representa o raio do eixo maior da elipse,

b

$b$ representa o raio do eixo menor da elipse,

h

$h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e

k

$k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Substitua os valores de

h

$h$ e

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre

c

$c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula.

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve

4

$4$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia

4

$4$ de

16

$16$ .

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

Etapa 5.3.5

Reescreva

12

$12$ como

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore

4

$4$ de

12

$12$ .

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar

a

$a$ com

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ na fórmula.

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

(4, 0)

$(4, 0)$

Etapa 6.4

O segundo vértice de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair

a

$a$ de

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ na fórmula.

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar

c

$c$ com

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ na fórmula.

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair

c

$c$ de

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ na fórmula.

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula.

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve

4

$4$ à potência de

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia

4

$4$ de

16

$16$ .

\frac{\sqrt{12}}{4}

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva

12

$12$ como

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Fatore

4

$4$ de

12

$12$ .

\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Etapa 8.3.1.5.2

Reescreva

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de

2

$2$ e

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore

2

$2$ de

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$ .

\frac{2 (\sqrt{3})}{4}

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore

2

$2$ de

4

$4$ .

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro:

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Excentricidade:

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

Insira SEU problema