Exemplos

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

Etapa 1

Some

5

$5$ aos dois lados da equação.

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

Etapa 2

Complete o quadrado de

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 3

$a = 3$

b = - 6

$b = - 6$

c = 0

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de

- 6

$- 6$ e

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore

2

$2$ de

- 6

$- 6$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore

2

$2$ de

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de

- 3

$- 3$ e

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore

3

$3$ de

- 3

$- 3$ .

d = \frac{3 \cdot - 1}{3}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore

3

$3$ de

3

$3$ .

d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

d = \frac{- 1}{1}

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

Etapa 2.4

Encontre o valor de

e

$e$ usando a fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ na fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve

- 6

$- 6$ à potência de

2

$2$ .

e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique

4

$4$ por

3

$3$ .

e = 0 - \frac{36}{12}

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Etapa 2.4.2.1.3

Divida

36

$36$ por

12

$12$ .

e = 0 - 1 \cdot 3

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

e = 0 - 3

$e = 0 - 3$

e = 0 - 3

$e = 0 - 3$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia

3

$3$ de

0

$0$ .

e = - 3

$e = - 3$

e = - 3

$e = - 3$

e = - 3

$e = - 3$

Etapa 2.5

Substitua os valores de

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ na forma do vértice

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Etapa 3

Substitua

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ por

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ na equação

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

Etapa 4

Mova

- 3

$- 3$ para o lado direito da equação, somando

3

$3$ aos dois lados.

3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

Etapa 5

Complete o quadrado de

4 y^{2} + 8 y

$4 y^{2} + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 8

$b = 8$

c = 0

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de

8

$8$ e

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore

2

$2$ de

8

$8$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

Etapa 5.4

Encontre o valor de

e

$e$ usando a fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ na fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve

8

$8$ à potência de

2

$2$ .

e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique

4

$4$ por

4

$4$ .

e = 0 - \frac{64}{16}

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida

64

$64$ por

16

$16$ .

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia

4

$4$ de

0

$0$ .

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

Etapa 5.5

Substitua os valores de

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ na forma do vértice

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Etapa 6

Substitua

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ por

4 y^{2} + 8 y

$4 y^{2} + 8 y$ na equação

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

Etapa 7

Mova

- 4

$- 4$ para o lado direito da equação, somando

4

$4$ aos dois lados.

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

Etapa 8

Simplifique

5 + 3 + 4

$5 + 3 + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some

5

$5$ e

3

$3$ .

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

Etapa 8.2

Some

8

$8$ e

4

$4$ .

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

Etapa 9

Divida cada termo por

12

$12$ para que o lado direito seja igual a um.

\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a

1

$1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja

1

$1$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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