Exemplos

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(4, 2)

$(4, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma elipse.

Equação de elipse horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de elipse vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

a

$a$ é a distância entre o vértice

(5, 2)

$(5, 2)$ e o ponto central

(1, 2)

$(1, 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia

$1$ de

$5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Etapa 2.3.5

Some

$16$ e

$0$ .

$a = \sqrt{16}$

Etapa 2.3.6

Reescreva

$16$ como

$4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Etapa 2.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = 4$

Etapa 3

$c$ é a distância entre o foco

$(4, 2)$ e o centro

$(1, 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia

$1$ de

$4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.4

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Etapa 3.3.5

Some

$9$ e

$0$ .

$c = \sqrt{9}$

Etapa 3.3.6

Reescreva

$9$ como

$3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 3$

Etapa 4

Usando a equação

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , substitua

$4$ por

$a$ e

$3$ por

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Etapa 4.2

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Etapa 4.3

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Subtraia

$16$ dos dois lados da equação.

$- b^{2} = 9 - 16$

Etapa 4.4.2

Subtraia

$16$ de

$9$ .

$- b^{2} = - 7$

Etapa 4.5

Divida cada termo em

$- b^{2} = - 7$ por

$- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Divida cada termo em

$- b^{2} = - 7$ por

$- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Divida

$b^{2}$ por

$1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Divida

$- 7$ por

$- 1$ .

$b^{2} = 7$

Etapa 4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$b = \pm \sqrt{7}$

Etapa 4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.7.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$b = \sqrt{7}$

Etapa 4.7.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$b = - \sqrt{7}$

Etapa 4.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 5

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

$b = \sqrt{7}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco

$(4, 2)$ e o centro

$(1, 2)$ determina se a elipse é vertical ou horizontal. Se a inclinação for

$0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

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Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em

$y$ sobre a variação em

$x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em

$x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em

$y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de

$x$ e

$y$ na equação para encontrar a inclinação.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia

$4$ de

$1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Etapa 6.4.3

Divida

$0$ por

$- 3$ .

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma elipse horizontal é

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores

$h = 1$ ,

$k = 2$ ,

$a = 4$ e

$b = \sqrt{7}$ em

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da elipse

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da elipse.

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Etapa 8.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Reescreva

${\sqrt{7}}^{2}$ como

$7$ .

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Etapa 8.4.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.4.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Etapa 8.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Etapa 9

Insira SEU problema