Exemplos

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

Etapa 1

Considerando os pontos

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ e

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ , encontre um plano que contenha os pontos

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ e

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ e que seja paralelo à reta

CD

$CD$ .

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

Etapa 2

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos

C

$C$ e

D

$D$ . Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto

C

$C$ e subtraia-os do ponto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Etapa 3

Substitua os valores

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ e simplifique para obter o vetor de direção

V_{CD}

$V_{CD}$ para a linha

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

Etapa 4

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos

A

$A$ e

B

$B$ usando o mesmo método.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Etapa 5

Substitua os valores

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ e simplifique para obter o vetor de direção

V_{AB}

$V_{AB}$ para a linha

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

Etapa 6

O plano da solução conterá uma linha com os pontos

A

$A$ e

B

$B$ e com o vetor de direção

V_{A B}

$V_{A B}$ . Para que esse plano seja paralelo à linha

C D

$C D$ , encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha

C D

$C D$ . Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ ao encontrar o determinante da matriz

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

Etapa 7

Calcule o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos

0

$0$ . Se não houver elementos

0

$0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha

1

$1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 7.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição

-

$-$ no gráfico de sinais.

Etapa 7.1.3

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Etapa 7.1.4

Multiplique o elemento

a_{11}

$a_{11}$ por seu cofator.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Etapa 7.1.5

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Etapa 7.1.6

Multiplique o elemento

a_{12}

$a_{12}$ por seu cofator.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

Etapa 7.1.7

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

Etapa 7.1.8

Multiplique o elemento

a_{13}

$a_{13}$ por seu cofator.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.1.9

Adicione os termos juntos.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2

Avalie

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$- 4$ .

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique

$- (- 6 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Multiplique

$- 6$ por

$3$ .

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 18$ .

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.2

Some

$- 12$ e

$18$ .

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3

Avalie

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$3$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia

$3$ de

$- 4$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.4

Avalie

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

Etapa 7.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Multiplique

$- 6$ por

$1$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$3$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

Etapa 7.4.2.2

Subtraia

$3$ de

$- 6$ .

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova

$6$ para a esquerda de

$i$ .

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

Etapa 7.5.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 7$ .

$6 i + 7 j - 9 k$

Etapa 8

Resolva a expressão

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ no ponto

$A$ , já que ele está no plano. Isso é usado para calcular a constante na equação para o plano.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique

$6$ por

$1$ .

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

Etapa 8.1.2

Multiplique

$7$ por

$2$ .

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

Etapa 8.1.3

Multiplique

$- 9$ por

$3$ .

$6 + 14 - 27$

Etapa 8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some

$6$ e

$14$ .

$20 - 27$

Etapa 8.2.2

Subtraia

$27$ de

$20$ .

$- 7$

Etapa 9

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ .

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

Etapa 10

Multiplique

$- 9$ por

$z$ .

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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