Exemplos

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$

Etapa 1

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ perpendicular ao plano

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ e ao plano

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano

P_{1}

$P_{1}$ e do plano

P_{2}

$P_{2}$ , em que os vetores normais são

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano

P_{2}

$P_{2}$ , como

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva

t

$t$ .

4. Usando o valor de

t

$t$ , resolva as equações paramétricas

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ para

t

$t$ para encontrar a intersecção

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Etapa 2

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

P_{1}

$P_{1}$ é

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ . Encontre o vetor normal

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Etapa 2.2

P_{2}

$P_{2}$ é

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ . Encontre o vetor normal

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Etapa 2.3

Calcule o produto escalar de

n_{1}

$n_{1}$ e

n_{2}

$n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ correspondentes nos vetores normais.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4

Simplifique o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Remova os parênteses.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 2

$- 2$ .

3 + 2 + 0 \cdot 0

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique

0

$0$ por

0

$0$ .

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

Etapa 2.4.3

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Some

3

$3$ e

2

$2$ .

5 + 0

$5 + 0$

Etapa 2.4.3.2

Some

5

$5$ e

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Etapa 3

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ usando a origem

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ para o ponto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e os valores do vetor normal

5

$5$ para os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a

P_{1}

$P_{1}$

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ .

x = 0 + 3 \cdot t

$x = 0 + 3 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 4

Substitua a expressão de

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ na equação por

P_{2}

$P_{2}$

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ .

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Etapa 5

Resolva a equação para

t

$t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine os termos opostos em

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Some

0

$0$ e

3 \cdot t

$3 \cdot t$ .

3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Etapa 5.1.1.2

Subtraia

1 \cdot t

$1 \cdot t$ de

0

$0$ .

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Etapa 5.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Reescreva

- 1 t

$- 1 t$ como

- t

$- t$ .

3 t - 2 (- t) = - 3

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 2

$- 2$ .

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

Etapa 5.1.3

Some

3 t

$3 t$ e

2 t

$2 t$ .

5 t = - 3

$5 t = - 3$

5 t = - 3

$5 t = - 3$

Etapa 5.2

Divida cada termo em

5 t = - 3

$5 t = - 3$ por

5

$5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em

5 t = - 3

$5 t = - 3$ por

5

$5$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de

5

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida

$t$ por

$1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{3}{5}$

Etapa 6

Resolva as equações paramétricas para

$x$ ,

$y$ e

$z$ usando o valor de

$t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva a equação para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Etapa 6.1.2

Remova os parênteses.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Etapa 6.1.3

Simplifique

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.1

Multiplique

$3 (- \frac{3}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Etapa 6.1.3.1.1.2

Combine

$- 3$ e

$\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Etapa 6.1.3.1.1.3

Multiplique

$- 3$ por

$3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Etapa 6.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Etapa 6.1.3.2

Subtraia

$\frac{9}{5}$ de

$0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Etapa 6.2

Resolva a equação para

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Etapa 6.2.3

Simplifique

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique

$- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique

$\frac{3}{5}$ por

$1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Etapa 6.2.3.2

Some

$0$ e

$\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Etapa 6.3

Resolva a equação para

$z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Etapa 6.3.2

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Etapa 6.3.3

Simplifique

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique

$0 (- \frac{3}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Etapa 6.3.3.1.2

Multiplique

$0$ por

$\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 6.3.3.2

Some

$0$ e

$0$ .

$z = 0$

Etapa 6.4

As equações paramétricas resolvidas para

$x$ ,

$y$ e

$z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Etapa 7

Usando os valores calculados para

$x$ ,

$y$ e

$z$ , o ponto de intersecção encontrado é

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

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