Álgebra linear Exemplos

a = [\begin{matrix} 2 & 3 & 2 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique

3

$3$ por

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Etapa 1.2.2

Some

2

$2$ e

6

$6$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Etapa 1.2.3

Some

8

$8$ e

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Etapa 2

Encontre a norma de

b⃗ = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.2.2

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Etapa 2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Etapa 2.2.4

Some

1

$1$ e

4

$4$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Etapa 2.2.5

Some

5

$5$ e

1

$1$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Etapa 3

Encontre a projeção de

a⃗

$a⃗$ em

b⃗

$b⃗$ usando a fórmula de projeção.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Etapa 4

Substitua

10

$10$ por

a⃗ \cdot b⃗

$a⃗ \cdot b⃗$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Etapa 5

Substitua

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ por

| | b⃗ | |

$| | b⃗ | |$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Etapa 6

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ por

b⃗

$b⃗$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva

{\sqrt{6}}^{2}

${\sqrt{6}}^{2}$ como

6

$6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ como

6^{\frac{1}{2}}

$6^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.1.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.1.5

Avalie o expoente.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de

$10$ e

$6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore

$2$ de

$10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore

$2$ de

$6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 7.3

Multiplique

$\frac{5}{3}$ por cada elemento da matriz.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.4

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique

$\frac{5}{3}$ por

$1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.4.2

Multiplique

$\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Combine

$\frac{5}{3}$ e

$2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.4.2.2

Multiplique

$5$ por

$2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.4.3

Multiplique

$\frac{5}{3}$ por

$1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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