Álgebra linear Exemplos

$(1, - 2)$ ,

$(- 2, 1)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Etapa 2.2.2

Subtraia

$2$ de

$- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Etapa 3

Encontre a magnitude de

$a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Etapa 3.2.3

Some

$1$ e

$4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de

$b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Etapa 4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Etapa 4.2.3

Some

$4$ e

$1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve

$\sqrt{5}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Etapa 6.1.2

Eleve

$\sqrt{5}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Etapa 6.1.3

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.1.4

Some

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Etapa 6.2

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.2.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.2.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Etapa 6.2.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Etapa 6.4

Avalie

$\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

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