Álgebra linear Exemplos

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto vetorial para encontrar o ângulo entre dois vetores.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto vetorial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto vetorial de dois vetores $a⃗$ e $b⃗$ pode ser escrito como um determinante com os vetores unitários padrão de $ℝ^{3}$ e os elementos dos vetores dados.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Etapa 2.2

Configure o determinante com os valores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 2.3.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 2.3.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Etapa 2.3.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Etapa 2.3.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.3.9

Adicione os termos juntos.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4

Avalie $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $0$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5

Avalie $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $- (- 2 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.2

Some $2$ e $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Etapa 2.6

Avalie $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Etapa 2.6.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Etapa 2.6.2.1.2

Multiplique $- (- 2 \cdot 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Etapa 2.6.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Etapa 2.6.2.2

Some $2$ e $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Etapa 2.8

Reescreva a resposta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Etapa 3

Encontre o módulo do produto vetorial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Etapa 3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Etapa 3.2.4

Some $1$ e $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Etapa 3.2.5

Some $17$ e $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Etapa 4.2.4

Some $4$ e $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Etapa 4.2.5

Some $4$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Etapa 5

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Etapa 5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Etapa 5.2.4

Some $4$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Etapa 5.2.5

Some $5$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Etapa 6

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\sqrt{21}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $21$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $3$ de $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{2}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.3.4.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Etapa 7.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Etapa 7.6.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Etapa 7.6.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Etapa 7.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Etapa 7.6.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Etapa 7.6.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 7.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 7.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Etapa 7.6.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{14}}{2}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Etapa 7.7.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Etapa 7.7.3

Multiplique $14$ por $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Etapa 7.7.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Etapa 7.8

Avalie $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

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