Álgebra linear Exemplos

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto vetorial para encontrar o ângulo entre dois vetores.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto vetorial.

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Etapa 2.1

O produto vetorial de dois vetores $a⃗$ e $b⃗$ pode ser escrito como um determinante com os vetores unitários padrão de $ℝ^{3}$ e os elementos dos vetores dados.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Etapa 2.2

Configure o determinante com os valores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

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Etapa 2.3.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 2.3.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 2.3.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Etapa 2.3.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Etapa 2.3.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.3.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.3.9

Adicione os termos juntos.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4

Avalie $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Etapa 2.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $6$ de $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Etapa 2.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $0$ por $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.2

Some $1$ e $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.6

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

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Etapa 2.6.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Etapa 2.6.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.2.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Etapa 2.6.2.1.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Etapa 2.6.2.2

Some $3$ e $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Etapa 2.8

Reescreva a resposta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Etapa 3

Encontre o módulo do produto vetorial.

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Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Etapa 3.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Etapa 3.2.4

Some $49$ e $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Etapa 3.2.5

Some $50$ e $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Etapa 4.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Etapa 4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Etapa 4.2.5

Some $2$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Etapa 5

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 5.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Etapa 5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Etapa 5.2.4

Some $0$ e $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Etapa 5.2.5

Some $9$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Etapa 6

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Etapa 7.1.2

Multiplique $6$ por $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Etapa 7.2.1.1

Fatore $4$ de $60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Etapa 7.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Etapa 7.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Etapa 7.4.2

Mova $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Etapa 7.4.3

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Etapa 7.4.4

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Etapa 7.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Etapa 7.4.6

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Etapa 7.4.7

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Etapa 7.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 7.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 7.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Etapa 7.4.7.5

Avalie o expoente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Etapa 7.5.2

Multiplique $59$ por $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Etapa 7.6

Multiplique $2$ por $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Etapa 7.7

Avalie $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

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