Álgebra linear Exemplos
(2,0,1)(2,0,1) , (-2,1,1)(−2,1,1)
Etapa 1
Use a fórmula do produto vetorial para encontrar o ângulo entre dois vetores.
θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)
Etapa 2
Etapa 2.1
O produto vetorial de dois vetores a⃗a⃗ e b⃗b⃗ pode ser escrito como um determinante com os vetores unitários padrão de ℝ3 e os elementos dos vetores dados.
a⃗×b⃗=a⃗×b⃗=|îĵk̂a1a2a3b1b2b3|
Etapa 2.2
Configure o determinante com os valores dados.
a⃗×b⃗=|îĵk̂201-211|
Etapa 2.3
Escolha a linha ou coluna com mais elementos 0. Se não houver elementos 0, escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha 1 por seu cofator e some.
Etapa 2.3.1
Considere o gráfico de sinais correspondente.
|+-+-+-+-+|
Etapa 2.3.2
O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição - no gráfico de sinais.
Etapa 2.3.3
O menor para a11 é o determinante com a linha 1 e a coluna 1 excluídas.
|0111|
Etapa 2.3.4
Multiplique o elemento a11 por seu cofator.
|0111|î
Etapa 2.3.5
O menor para a12 é o determinante com a linha 1 e a coluna 2 excluídas.
|21-21|
Etapa 2.3.6
Multiplique o elemento a12 por seu cofator.
-|21-21|ĵ
Etapa 2.3.7
O menor para a13 é o determinante com a linha 1 e a coluna 3 excluídas.
|20-21|
Etapa 2.3.8
Multiplique o elemento a13 por seu cofator.
|20-21|k̂
Etapa 2.3.9
Adicione os termos juntos.
a⃗×b⃗=|0111|î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=|0111|î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.4
Avalie |0111|.
Etapa 2.4.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=(0⋅1-1⋅1)î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.4.2
Simplifique o determinante.
Etapa 2.4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.4.2.1.1
Multiplique 0 por 1.
a⃗×b⃗=(0-1⋅1)î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.4.2.1.2
Multiplique -1 por 1.
a⃗×b⃗=(0-1)î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=(0-1)î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.4.2.2
Subtraia 1 de 0.
a⃗×b⃗=-î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=-î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=-î-|21-21|ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.5
Avalie |21-21|.
Etapa 2.5.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=-î-(2⋅1-(-2⋅1))ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.5.2
Simplifique o determinante.
Etapa 2.5.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.5.2.1.1
Multiplique 2 por 1.
a⃗×b⃗=-î-(2-(-2⋅1))ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.5.2.1.2
Multiplique -(-2⋅1).
Etapa 2.5.2.1.2.1
Multiplique -2 por 1.
a⃗×b⃗=-î-(2--2)ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.5.2.1.2.2
Multiplique -1 por -2.
a⃗×b⃗=-î-(2+2)ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=-î-(2+2)ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=-î-(2+2)ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.5.2.2
Some 2 e 2.
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+|20-21|k̂
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+|20-21|k̂
Etapa 2.6
Avalie |20-21|.
Etapa 2.6.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+(2⋅1-(-2⋅0))k̂
Etapa 2.6.2
Simplifique o determinante.
Etapa 2.6.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.6.2.1.1
Multiplique 2 por 1.
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+(2-(-2⋅0))k̂
Etapa 2.6.2.1.2
Multiplique -(-2⋅0).
Etapa 2.6.2.1.2.1
Multiplique -2 por 0.
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+(2-0)k̂
Etapa 2.6.2.1.2.2
Multiplique -1 por 0.
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+(2+0)k̂
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+(2+0)k̂
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+(2+0)k̂
Etapa 2.6.2.2
Some 2 e 0.
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+2k̂
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+2k̂
a⃗×b⃗=-î-1⋅4ĵ+2k̂
Etapa 2.7
Multiplique -1 por 4.
a⃗×b⃗=-î-4ĵ+2k̂
Etapa 2.8
Reescreva a resposta.
a⃗×b⃗=(-1,-4,2)
a⃗×b⃗=(-1,-4,2)
Etapa 3
Etapa 3.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
|a⃗×b⃗|=√(-1)2+(-4)2+22
Etapa 3.2
Simplifique.
Etapa 3.2.1
Eleve -1 à potência de 2.
|a⃗×b⃗|=√1+(-4)2+22
Etapa 3.2.2
Eleve -4 à potência de 2.
|a⃗×b⃗|=√1+16+22
Etapa 3.2.3
Eleve 2 à potência de 2.
|a⃗×b⃗|=√1+16+4
Etapa 3.2.4
Some 1 e 16.
|a⃗×b⃗|=√17+4
Etapa 3.2.5
Some 17 e 4.
|a⃗×b⃗|=√21
|a⃗×b⃗|=√21
|a⃗×b⃗|=√21
Etapa 4
Etapa 4.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
|a⃗|=√22+02+12
Etapa 4.2
Simplifique.
Etapa 4.2.1
Eleve 2 à potência de 2.
|a⃗|=√4+02+12
Etapa 4.2.2
Elevar 0 a qualquer potência positiva produz 0.
|a⃗|=√4+0+12
Etapa 4.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
|a⃗|=√4+0+1
Etapa 4.2.4
Some 4 e 0.
|a⃗|=√4+1
Etapa 4.2.5
Some 4 e 1.
|a⃗|=√5
|a⃗|=√5
|a⃗|=√5
Etapa 5
Etapa 5.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
|b⃗|=√(-2)2+12+12
Etapa 5.2
Simplifique.
Etapa 5.2.1
Eleve -2 à potência de 2.
|b⃗|=√4+12+12
Etapa 5.2.2
Um elevado a qualquer potência é um.
|b⃗|=√4+1+12
Etapa 5.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
|b⃗|=√4+1+1
Etapa 5.2.4
Some 4 e 1.
|b⃗|=√5+1
Etapa 5.2.5
Some 5 e 1.
|b⃗|=√6
|b⃗|=√6
|b⃗|=√6
Etapa 6
Substitua os valores na fórmula.
θ=arcsin(√21√5√6)
Etapa 7
Etapa 7.1
Combine √21 e √6 em um único radical.
θ=arcsin(√216√5)
Etapa 7.2
Cancele o fator comum de 21 e 6.
Etapa 7.2.1
Fatore 3 de 21.
θ=arcsin(√3(7)6√5)
Etapa 7.2.2
Cancele os fatores comuns.
Etapa 7.2.2.1
Fatore 3 de 6.
θ=arcsin(√3⋅73⋅2√5)
Etapa 7.2.2.2
Cancele o fator comum.
θ=arcsin(√3⋅73⋅2√5)
Etapa 7.2.2.3
Reescreva a expressão.
θ=arcsin(√72√5)
θ=arcsin(√72√5)
θ=arcsin(√72√5)
Etapa 7.3
Simplifique o numerador.
Etapa 7.3.1
Reescreva √72 como √7√2.
θ=arcsin(√7√2√5)
Etapa 7.3.2
Multiplique √7√2 por √2√2.
θ=arcsin(√7√2⋅√2√2√5)
Etapa 7.3.3
Combine e simplifique o denominador.
Etapa 7.3.3.1
Multiplique √7√2 por √2√2.
θ=arcsin(√7√2√2√2√5)
Etapa 7.3.3.2
Eleve √2 à potência de 1.
θ=arcsin(√7√2√21√2√5)
Etapa 7.3.3.3
Eleve √2 à potência de 1.
θ=arcsin(√7√2√21√21√5)
Etapa 7.3.3.4
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
θ=arcsin(√7√2√21+1√5)
Etapa 7.3.3.5
Some 1 e 1.
θ=arcsin(√7√2√22√5)
Etapa 7.3.3.6
Reescreva √22 como 2.
Etapa 7.3.3.6.1
Use n√ax=axn para reescrever √2 como 212.
θ=arcsin(√7√2(212)2√5)
Etapa 7.3.3.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
θ=arcsin(√7√2212⋅2√5)
Etapa 7.3.3.6.3
Combine 12 e 2.
θ=arcsin(√7√2222√5)
Etapa 7.3.3.6.4
Cancele o fator comum de 2.
Etapa 7.3.3.6.4.1
Cancele o fator comum.
θ=arcsin(√7√2222√5)
Etapa 7.3.3.6.4.2
Reescreva a expressão.
θ=arcsin(√7√221√5)
θ=arcsin(√7√221√5)
Etapa 7.3.3.6.5
Avalie o expoente.
θ=arcsin(√7√22√5)
θ=arcsin(√7√22√5)
θ=arcsin(√7√22√5)
Etapa 7.3.4
Simplifique o numerador.
Etapa 7.3.4.1
Combine usando a regra do produto para radicais.
θ=arcsin(√7⋅22√5)
Etapa 7.3.4.2
Multiplique 7 por 2.
θ=arcsin(√142√5)
θ=arcsin(√142√5)
θ=arcsin(√142√5)
Etapa 7.4
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
θ=arcsin(√142⋅1√5)
Etapa 7.5
Multiplique 1√5 por √5√5.
θ=arcsin(√142(1√5⋅√5√5))
Etapa 7.6
Combine e simplifique o denominador.
Etapa 7.6.1
Multiplique 1√5 por √5√5.
θ=arcsin(√142⋅√5√5√5)
Etapa 7.6.2
Eleve √5 à potência de 1.
θ=arcsin(√142⋅√5√51√5)
Etapa 7.6.3
Eleve √5 à potência de 1.
θ=arcsin(√142⋅√5√51√51)
Etapa 7.6.4
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
θ=arcsin(√142⋅√5√51+1)
Etapa 7.6.5
Some 1 e 1.
θ=arcsin(√142⋅√5√52)
Etapa 7.6.6
Reescreva √52 como 5.
Etapa 7.6.6.1
Use n√ax=axn para reescrever √5 como 512.
θ=arcsin(√142⋅√5(512)2)
Etapa 7.6.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
θ=arcsin(√142⋅√5512⋅2)
Etapa 7.6.6.3
Combine 12 e 2.
θ=arcsin(√142⋅√5522)
Etapa 7.6.6.4
Cancele o fator comum de 2.
Etapa 7.6.6.4.1
Cancele o fator comum.
θ=arcsin(√142⋅√5522)
Etapa 7.6.6.4.2
Reescreva a expressão.
θ=arcsin(√142⋅√551)
θ=arcsin(√142⋅√551)
Etapa 7.6.6.5
Avalie o expoente.
θ=arcsin(√142⋅√55)
θ=arcsin(√142⋅√55)
θ=arcsin(√142⋅√55)
Etapa 7.7
Multiplique √142⋅√55.
Etapa 7.7.1
Multiplique √142 por √55.
θ=arcsin(√14√52⋅5)
Etapa 7.7.2
Combine usando a regra do produto para radicais.
θ=arcsin(√14⋅52⋅5)
Etapa 7.7.3
Multiplique 14 por 5.
θ=arcsin(√702⋅5)
Etapa 7.7.4
Multiplique 2 por 5.
θ=arcsin(√7010)
θ=arcsin(√7010)
Etapa 7.8
Avalie arcsin(√7010).
θ=56.78908923
θ=56.78908923