Álgebra linear Exemplos

(1, - 1, 2)

$(1, - 1, 2)$ ,

(0, 3, 1)

$(0, 3, 1)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto vetorial para encontrar o ângulo entre dois vetores.

θ = arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto vetorial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto vetorial de dois vetores

a⃗

$a⃗$ e

b⃗

$b⃗$ pode ser escrito como um determinante com os vetores unitários padrão de

R^{3}

$ℝ^{3}$ e os elementos dos vetores dados.

a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} î & ĵ & k̂ a_{1} & a_{2} & a_{3} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Etapa 2.2

Configure o determinante com os valores dados.

a⃗ \times b⃗ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} î & ĵ & k̂ 1 & - 1 & 2 0 & 3 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3

Escolha a linha ou coluna com mais elementos

0

$0$ . Se não houver elementos

0

$0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha

1

$1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 2.3.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição

-

$-$ no gráfico de sinais.

Etapa 2.3.3

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 2 3 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.4

Multiplique o elemento

a_{11}

$a_{11}$ por seu cofator.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 2 3 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Etapa 2.3.5

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.3.6

Multiplique o elemento

a_{12}

$a_{12}$ por seu cofator.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Etapa 2.3.7

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.3.8

Multiplique o elemento

a_{13}

$a_{13}$ por seu cofator.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.3.9

Adicione os termos juntos.

a⃗ \times b⃗ = ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 2 3 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 2 3 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 2 3 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia

6

$6$ de

- 1

$- 1$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique

1

$1$ por

1

$1$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique

0

$0$ por

2

$2$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.5.2.2

Some

1

$1$ e

0

$0$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Etapa 2.6

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Etapa 2.6.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Etapa 2.6.2.1.2

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Etapa 2.6.2.2

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Etapa 2.7

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Etapa 2.8

Reescreva a resposta.

a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Etapa 3

Encontre o módulo do produto vetorial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve

- 7

$- 7$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Etapa 3.2.3

Eleve

3

$3$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Etapa 3.2.4

Some

49

$49$ e

1

$1$ .

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Etapa 3.2.5

Some

50

$50$ e

9

$9$ .

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de

a⃗

$a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Etapa 4.2.3

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Etapa 4.2.4

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Etapa 4.2.5

Some

2

$2$ e

4

$4$ .

| a⃗ | = \sqrt{6}

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

| a⃗ | = \sqrt{6}

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

| a⃗ | = \sqrt{6}

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Etapa 5

Encontre a magnitude de

b⃗

$b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.2.2

Eleve

3

$3$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Etapa 5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Etapa 5.2.4

Some

0

$0$ e

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Etapa 5.2.5

Some

9

$9$ e

1

$1$ .

| b⃗ | = \sqrt{10}

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

| b⃗ | = \sqrt{10}

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

| b⃗ | = \sqrt{10}

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Etapa 6

Substitua os valores na fórmula.

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Etapa 7.1.2

Multiplique

6

$6$ por

10

$10$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Reescreva

60

$60$ como

2^{2} \cdot 15

$2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Fatore

4

$4$ de

60

$60$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Etapa 7.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Etapa 7.3

Multiplique

\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por

\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Etapa 7.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique

\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por

\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Etapa 7.4.2

Mova

\sqrt{15}

$\sqrt{15}$ .

θ = arcsin ⎛ ⎜ ⎝ \frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Etapa 7.4.3

Eleve

\sqrt{15}

$\sqrt{15}$ à potência de

1

$1$ .

θ = arcsin ⎛ ⎜ ⎝ \frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Etapa 7.4.4

Eleve

\sqrt{15}

$\sqrt{15}$ à potência de

1

$1$ .

θ = arcsin ⎛ ⎜ ⎝ \frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Etapa 7.4.5

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Etapa 7.4.6

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Etapa 7.4.7

Reescreva

{\sqrt{15}}^{2}

${\sqrt{15}}^{2}$ como

15

$15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.7.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{15}

$\sqrt{15}$ como

15^{\frac{1}{2}}

$15^{\frac{1}{2}}$ .

θ = arcsin ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 7.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 7.4.7.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

θ = arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.4.7.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Etapa 7.4.7.5

Avalie o expoente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Etapa 7.5.2

Multiplique

$59$ por

$15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Etapa 7.6

Multiplique

$2$ por

$15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Etapa 7.7

Avalie

$\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

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