Álgebra linear Exemplos

Encontre o ângulo entre os vetores usando o produto vetorial
(2,0,1)(2,0,1) , (-2,1,1)(2,1,1)
Etapa 1
Use a fórmula do produto vetorial para encontrar o ângulo entre dois vetores.
θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)
Etapa 2
Encontre o produto vetorial.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
O produto vetorial de dois vetores a⃗a⃗ e b⃗b⃗ pode ser escrito como um determinante com os vetores unitários padrão de 3 e os elementos dos vetores dados.
a⃗×b⃗=a⃗×b⃗=|a1a2a3b1b2b3|
Etapa 2.2
Configure o determinante com os valores dados.
a⃗×b⃗=|201-211|
Etapa 2.3
Escolha a linha ou coluna com mais elementos 0. Se não houver elementos 0, escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha 1 por seu cofator e some.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Considere o gráfico de sinais correspondente.
|+-+-+-+-+|
Etapa 2.3.2
O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição - no gráfico de sinais.
Etapa 2.3.3
O menor para a11 é o determinante com a linha 1 e a coluna 1 excluídas.
|0111|
Etapa 2.3.4
Multiplique o elemento a11 por seu cofator.
|0111|
Etapa 2.3.5
O menor para a12 é o determinante com a linha 1 e a coluna 2 excluídas.
|21-21|
Etapa 2.3.6
Multiplique o elemento a12 por seu cofator.
-|21-21|
Etapa 2.3.7
O menor para a13 é o determinante com a linha 1 e a coluna 3 excluídas.
|20-21|
Etapa 2.3.8
Multiplique o elemento a13 por seu cofator.
|20-21|
Etapa 2.3.9
Adicione os termos juntos.
a⃗×b⃗=|0111|-|21-21|+|20-21|
a⃗×b⃗=|0111|-|21-21|+|20-21|
Etapa 2.4
Avalie |0111|.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=(01-11)-|21-21|+|20-21|
Etapa 2.4.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.2.1.1
Multiplique 0 por 1.
a⃗×b⃗=(0-11)-|21-21|+|20-21|
Etapa 2.4.2.1.2
Multiplique -1 por 1.
a⃗×b⃗=(0-1)-|21-21|+|20-21|
a⃗×b⃗=(0-1)-|21-21|+|20-21|
Etapa 2.4.2.2
Subtraia 1 de 0.
a⃗×b⃗=--|21-21|+|20-21|
a⃗×b⃗=--|21-21|+|20-21|
a⃗×b⃗=--|21-21|+|20-21|
Etapa 2.5
Avalie |21-21|.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=--(21-(-21))+|20-21|
Etapa 2.5.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.2.1.1
Multiplique 2 por 1.
a⃗×b⃗=--(2-(-21))+|20-21|
Etapa 2.5.2.1.2
Multiplique -(-21).
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.2.1.2.1
Multiplique -2 por 1.
a⃗×b⃗=--(2--2)+|20-21|
Etapa 2.5.2.1.2.2
Multiplique -1 por -2.
a⃗×b⃗=--(2+2)+|20-21|
a⃗×b⃗=--(2+2)+|20-21|
a⃗×b⃗=--(2+2)+|20-21|
Etapa 2.5.2.2
Some 2 e 2.
a⃗×b⃗=--14+|20-21|
a⃗×b⃗=--14+|20-21|
a⃗×b⃗=--14+|20-21|
Etapa 2.6
Avalie |20-21|.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=--14+(21-(-20))
Etapa 2.6.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.2.1.1
Multiplique 2 por 1.
a⃗×b⃗=--14+(2-(-20))
Etapa 2.6.2.1.2
Multiplique -(-20).
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.2.1.2.1
Multiplique -2 por 0.
a⃗×b⃗=--14+(2-0)
Etapa 2.6.2.1.2.2
Multiplique -1 por 0.
a⃗×b⃗=--14+(2+0)
a⃗×b⃗=--14+(2+0)
a⃗×b⃗=--14+(2+0)
Etapa 2.6.2.2
Some 2 e 0.
a⃗×b⃗=--14+2
a⃗×b⃗=--14+2
a⃗×b⃗=--14+2
Etapa 2.7
Multiplique -1 por 4.
a⃗×b⃗=--4+2
Etapa 2.8
Reescreva a resposta.
a⃗×b⃗=(-1,-4,2)
a⃗×b⃗=(-1,-4,2)
Etapa 3
Encontre o módulo do produto vetorial.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
|a⃗×b⃗|=(-1)2+(-4)2+22
Etapa 3.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Eleve -1 à potência de 2.
|a⃗×b⃗|=1+(-4)2+22
Etapa 3.2.2
Eleve -4 à potência de 2.
|a⃗×b⃗|=1+16+22
Etapa 3.2.3
Eleve 2 à potência de 2.
|a⃗×b⃗|=1+16+4
Etapa 3.2.4
Some 1 e 16.
|a⃗×b⃗|=17+4
Etapa 3.2.5
Some 17 e 4.
|a⃗×b⃗|=21
|a⃗×b⃗|=21
|a⃗×b⃗|=21
Etapa 4
Encontre a magnitude de a⃗.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
|a⃗|=22+02+12
Etapa 4.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1
Eleve 2 à potência de 2.
|a⃗|=4+02+12
Etapa 4.2.2
Elevar 0 a qualquer potência positiva produz 0.
|a⃗|=4+0+12
Etapa 4.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
|a⃗|=4+0+1
Etapa 4.2.4
Some 4 e 0.
|a⃗|=4+1
Etapa 4.2.5
Some 4 e 1.
|a⃗|=5
|a⃗|=5
|a⃗|=5
Etapa 5
Encontre a magnitude de b⃗.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
|b⃗|=(-2)2+12+12
Etapa 5.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Eleve -2 à potência de 2.
|b⃗|=4+12+12
Etapa 5.2.2
Um elevado a qualquer potência é um.
|b⃗|=4+1+12
Etapa 5.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
|b⃗|=4+1+1
Etapa 5.2.4
Some 4 e 1.
|b⃗|=5+1
Etapa 5.2.5
Some 5 e 1.
|b⃗|=6
|b⃗|=6
|b⃗|=6
Etapa 6
Substitua os valores na fórmula.
θ=arcsin(2156)
Etapa 7
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Combine 21 e 6 em um único radical.
θ=arcsin(2165)
Etapa 7.2
Cancele o fator comum de 21 e 6.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Fatore 3 de 21.
θ=arcsin(3(7)65)
Etapa 7.2.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.2.1
Fatore 3 de 6.
θ=arcsin(37325)
Etapa 7.2.2.2
Cancele o fator comum.
θ=arcsin(37325)
Etapa 7.2.2.3
Reescreva a expressão.
θ=arcsin(725)
θ=arcsin(725)
θ=arcsin(725)
Etapa 7.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.1
Reescreva 72 como 72.
θ=arcsin(725)
Etapa 7.3.2
Multiplique 72 por 22.
θ=arcsin(72225)
Etapa 7.3.3
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.3.1
Multiplique 72 por 22.
θ=arcsin(72225)
Etapa 7.3.3.2
Eleve 2 à potência de 1.
θ=arcsin(722125)
Etapa 7.3.3.3
Eleve 2 à potência de 1.
θ=arcsin(7221215)
Etapa 7.3.3.4
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
θ=arcsin(7221+15)
Etapa 7.3.3.5
Some 1 e 1.
θ=arcsin(72225)
Etapa 7.3.3.6
Reescreva 22 como 2.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.3.6.1
Use nax=axn para reescrever 2 como 212.
θ=arcsin(72(212)25)
Etapa 7.3.3.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
θ=arcsin(7221225)
Etapa 7.3.3.6.3
Combine 12 e 2.
θ=arcsin(722225)
Etapa 7.3.3.6.4
Cancele o fator comum de 2.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.3.6.4.1
Cancele o fator comum.
θ=arcsin(722225)
Etapa 7.3.3.6.4.2
Reescreva a expressão.
θ=arcsin(72215)
θ=arcsin(72215)
Etapa 7.3.3.6.5
Avalie o expoente.
θ=arcsin(7225)
θ=arcsin(7225)
θ=arcsin(7225)
Etapa 7.3.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.4.1
Combine usando a regra do produto para radicais.
θ=arcsin(7225)
Etapa 7.3.4.2
Multiplique 7 por 2.
θ=arcsin(1425)
θ=arcsin(1425)
θ=arcsin(1425)
Etapa 7.4
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
θ=arcsin(14215)
Etapa 7.5
Multiplique 15 por 55.
θ=arcsin(142(1555))
Etapa 7.6
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.6.1
Multiplique 15 por 55.
θ=arcsin(142555)
Etapa 7.6.2
Eleve 5 à potência de 1.
θ=arcsin(1425515)
Etapa 7.6.3
Eleve 5 à potência de 1.
θ=arcsin(14255151)
Etapa 7.6.4
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
θ=arcsin(142551+1)
Etapa 7.6.5
Some 1 e 1.
θ=arcsin(142552)
Etapa 7.6.6
Reescreva 52 como 5.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.6.6.1
Use nax=axn para reescrever 5 como 512.
θ=arcsin(1425(512)2)
Etapa 7.6.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
θ=arcsin(14255122)
Etapa 7.6.6.3
Combine 12 e 2.
θ=arcsin(1425522)
Etapa 7.6.6.4
Cancele o fator comum de 2.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.6.6.4.1
Cancele o fator comum.
θ=arcsin(1425522)
Etapa 7.6.6.4.2
Reescreva a expressão.
θ=arcsin(142551)
θ=arcsin(142551)
Etapa 7.6.6.5
Avalie o expoente.
θ=arcsin(14255)
θ=arcsin(14255)
θ=arcsin(14255)
Etapa 7.7
Multiplique 14255.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.7.1
Multiplique 142 por 55.
θ=arcsin(14525)
Etapa 7.7.2
Combine usando a regra do produto para radicais.
θ=arcsin(14525)
Etapa 7.7.3
Multiplique 14 por 5.
θ=arcsin(7025)
Etapa 7.7.4
Multiplique 2 por 5.
θ=arcsin(7010)
θ=arcsin(7010)
Etapa 7.8
Avalie arcsin(7010).
θ=56.78908923
θ=56.78908923
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