Álgebra linear Exemplos

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Etapa 1

Atribua um nome para cada vetor.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Etapa 2

O primeiro vetor ortogonal é o primeiro vetor no conjunto dado de vetores.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Etapa 3

Use a fórmula para encontrar os outros vetores ortogonais.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Etapa 4

Encontre o vetor ortogonal ${v⃗}_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a fórmula para encontrar ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Etapa 4.2

Substitua $(0, 1, 1)$ por ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Etapa 4.3

Encontre ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1

Multiplique $0$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.1.2.1.2

Multiplique $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.1.2.1.3

Multiplique $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Etapa 4.3.1.2.2

Some $0$ e $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $1$ e $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Etapa 4.3.2

Encontre a norma de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Etapa 4.3.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Etapa 4.3.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Etapa 4.3.2.2.5

Some $2$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Etapa 4.3.3

Encontre a projeção de ${u⃗}_{2}$ em ${v⃗}_{1}$ usando a fórmula de projeção.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 4.3.4

Substitua $2$ por ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 4.3.5

Substitua $\sqrt{3}$ por $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 4.3.6

Substitua $(1, 1, 1)$ por ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1.4.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.4.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.5

Avalie o expoente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por cada elemento da matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.3.7.3

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.3.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.3.7.3.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.3.7.3.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Etapa 4.4

Substitua a projeção.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Combine cada componente dos vetores.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.2

Subtraia $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.5

Subtraia $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 4.5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Etapa 4.5.8

Subtraia $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5

Encontre o vetor ortogonal ${v⃗}_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a fórmula para encontrar ${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Etapa 5.2

Substitua $(0, 0, 1)$ por ${u⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Etapa 5.3

Encontre ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Multiplique $0$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.2.1.3

Multiplique $1$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Etapa 5.3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Etapa 5.3.1.2.3

Some $0$ e $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Etapa 5.3.2

Encontre a norma de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Etapa 5.3.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Etapa 5.3.2.2.5

Some $2$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Etapa 5.3.3

Encontre a projeção de ${u⃗}_{3}$ em ${v⃗}_{1}$ usando a fórmula de projeção.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 5.3.4

Substitua $1$ por ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 5.3.5

Substitua $\sqrt{3}$ por $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 5.3.6

Substitua $(1, 1, 1)$ por ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1.4.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7.1.4.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7.1.5

Avalie o expoente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Etapa 5.3.7.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por cada elemento da matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.3.7.3

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.3.7.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.3.7.3.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4

Encontre ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 5.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1.1

Multiplique $0 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 5.4.1.2.1.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 5.4.1.2.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 5.4.1.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.1.2.3

Some $0$ e $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.2

Encontre a norma de ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.4.2.2.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Etapa 5.4.2.2.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 5.4.2.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 5.4.2.2.13

Some $4$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 5.4.2.2.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Etapa 5.4.2.2.15

Some $5$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Etapa 5.4.2.2.16

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.16.1

Fatore $3$ de $6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Etapa 5.4.2.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.16.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.4.2.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.4.2.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.2.2.17

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.4.2.2.18

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.4.2.2.19

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.19.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.4.2.2.19.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.4.2.2.19.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.4.2.2.19.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.4.2.2.19.5

Some $1$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.19.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.19.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.19.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2.19.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.4.2.2.19.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.19.6.4.1

Cancele o fator comum.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.4.2.2.19.6.4.2

Reescreva a expressão.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.4.2.2.19.6.5

Avalie o expoente.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.4.2.2.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.20.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Etapa 5.4.2.2.20.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 5.4.3

Encontre a projeção de ${u⃗}_{3}$ em ${v⃗}_{2}$ usando a fórmula de projeção.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Etapa 5.4.4

Substitua $\frac{1}{3}$ por ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Etapa 5.4.5

Substitua $\frac{\sqrt{6}}{3}$ por $| | {v⃗}_{2} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Etapa 5.4.6

Substitua $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ por ${v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.2.5

Avalie o expoente.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1.4.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.3.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.3.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por cada elemento da matriz.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.5.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.1.3

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.1.4

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.5.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 5.4.7.5.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Etapa 5.4.7.5.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Etapa 5.5

Substitua as projeções.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Etapa 5.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine cada componente dos vetores.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Etapa 5.6.2

Combine cada componente dos vetores.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.3

Multiplique $- (- \frac{1}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.4.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.4.2.2

Divida $0$ por $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.5

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.6

Subtraia $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.7

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.8.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.9.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.10

Cancele o fator comum de $- 3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.10.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.10.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.10.2.2

Cancele o fator comum.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.10.2.3

Reescreva a expressão.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.12.1

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12.2

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12.3

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12.6

Reordene os fatores de $3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.12.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Etapa 5.6.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Etapa 5.6.14

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.14.1

Subtraia $2$ de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Etapa 5.6.14.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Etapa 5.6.15

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.15.1

Fatore $3$ de $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Etapa 5.6.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.15.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Etapa 5.6.15.2.2

Cancele o fator comum.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Etapa 5.6.15.2.3

Reescreva a expressão.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Etapa 6

Encontre a base ortonormal dividindo cada vetor ortogonal por sua norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Etapa 7

Encontre o vetor unitário $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ onde ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor $v⃗$ , divida pela norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Etapa 7.2

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 7.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Etapa 7.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Etapa 7.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Etapa 7.3.5

Some $2$ e $1$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 7.4

Divida o vetor por sua norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.5

Divida cada elemento no vetor por $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Etapa 8

Encontre o vetor unitário $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ onde ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor $v⃗$ , divida pela norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Etapa 8.2

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 8.3.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 8.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Etapa 8.3.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 8.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 8.3.13

Some $4$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 8.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Etapa 8.3.15

Some $5$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Etapa 8.3.16

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Etapa 8.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 8.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 8.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 8.3.17

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.4

Divida o vetor por sua norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Etapa 8.5

Divida cada elemento no vetor por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6.4

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 8.6.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Etapa 8.6.8

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Etapa 9

Encontre o vetor unitário $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ onde ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Etapa 9.1

Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor $v⃗$ , divida pela norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Etapa 9.2

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 9.3.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.4

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 9.3.7

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 9.3.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Etapa 9.3.10

Some $0$ e $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Etapa 9.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Etapa 9.3.12

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Etapa 9.3.13

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 9.3.13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 9.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.13.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 9.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 9.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.3.14

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.15

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.4

Divida o vetor por sua norma.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 9.5

Divida cada elemento no vetor por $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Etapa 9.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Etapa 9.6.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Etapa 9.6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Etapa 9.6.4

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Etapa 9.6.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Etapa 9.6.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 10

Substitua os valores conhecidos.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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