Álgebra linear Exemplos

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Etapa 1

Atribua um nome para cada vetor.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Etapa 2

O primeiro vetor ortogonal é o primeiro vetor no conjunto dado de vetores.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Etapa 3

Use a fórmula para encontrar os outros vetores ortogonais.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Etapa 4

Encontre o vetor ortogonal ${v⃗}_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a fórmula para encontrar ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Etapa 4.2

Substitua $(0, 1, 1)$ por ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Etapa 4.3

Encontre ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1

Multiplique $0$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.1.2.1.2

Multiplique $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.1.2.1.3

Multiplique $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Etapa 4.3.1.2.2

Some $0$ e $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $1$ e $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Etapa 4.3.2

Encontre a norma de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Etapa 4.3.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Etapa 4.3.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Etapa 4.3.2.2.5

Some $2$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Etapa 4.3.3

Encontre a projeção de ${u⃗}_{2}$ em ${v⃗}_{1}$ usando a fórmula de projeção.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 4.3.4

Substitua $2$ por ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 4.3.5

Substitua $\sqrt{3}$ por $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Etapa 4.3.6

Substitua $(1, 1, 1)$ por ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1.4.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.4.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.1.5

Avalie o expoente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por cada elemento da matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.3.7.3

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.3.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.3.7.3.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.3.7.3.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Etapa 4.4

Substitua a projeção.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Combine cada componente dos vetores.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.2

Subtraia $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.5

Subtraia $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.5.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 4.5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Etapa 4.5.8

Subtraia $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5

Encontre a base ortonormal dividindo cada vetor ortogonal por sua norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Etapa 6

Encontre o vetor unitário $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ onde ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor $v⃗$ , divida pela norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Etapa 6.2

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Etapa 6.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Etapa 6.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Etapa 6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Etapa 6.3.5

Some $2$ e $1$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 6.4

Divida o vetor por sua norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.5

Divida cada elemento no vetor por $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Etapa 7

Encontre o vetor unitário $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ onde ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor $v⃗$ , divida pela norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Etapa 7.2

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 7.3.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 7.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Etapa 7.3.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 7.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 7.3.13

Some $4$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 7.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Etapa 7.3.15

Some $5$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Etapa 7.3.16

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.16.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Etapa 7.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.16.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 7.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 7.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 7.3.17

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.4

Divida o vetor por sua norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Etapa 7.5

Divida cada elemento no vetor por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6.4

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Etapa 7.6.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Etapa 7.6.8

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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