Álgebra linear Exemplos

4 x - y = - 4

$4 x - y = - 4$ ,

3 x - 3 y = - 6

$3 x - 3 y = - 6$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

[\begin{matrix} 4 & - 1 & - 4 3 & - 3 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 & - 4 \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{4}{4} & \frac{- 1}{4} & \frac{- 4}{4} 3 & - 3 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 1}{4} & \frac{- 4}{4} \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 3 & - 3 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 3 & - 3 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 (- \frac{1}{4}) & - 6 - 3 \cdot - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 (- \frac{1}{4}) & - 6 - 3 \cdot - 1 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 0 & - \frac{9}{4} & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & - \frac{9}{4} & - 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 0 & - \frac{9}{4} & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & - \frac{9}{4} & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{4}{9}

$- \frac{4}{9}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{4}{9}

$- \frac{4}{9}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 - \frac{4}{9} \cdot 0 & - \frac{4}{9} (- \frac{9}{4}) & - \frac{4}{9} \cdot - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ - \frac{4}{9} \cdot 0 & - \frac{4}{9} (- \frac{9}{4}) & - \frac{4}{9} \cdot - 3 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ para transformar a entrada em

$1, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ para transformar a entrada em

$1, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{4}{3}$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

Etapa 5

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} \end{array}]$

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