Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Etapa 1

A nulidade é a dimensão do espaço nulo, que é igual ao número de variáveis livres no sistema após a redução da linha. As variáveis livres são as colunas sem posições de pivô.

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 6 - 4 (\frac{2}{3}) \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{3}{10}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{3}{10}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{10} \cdot 0 & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

As posições de pivô são os locais com o $1$ inicial em cada linha. As colunas pivô são as colunas que têm uma posição pivô.

Posições pivô: $a_{11}$ e $a_{22}$

Colunas pivô: $1$ e $2$

Etapa 4

A nulidade é o número de colunas sem uma posição de pivô na matriz reduzida de linha.

$0$

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