Álgebra linear Exemplos

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}]}$

Etapa 1

Escreva como uma matriz aumentada para

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 6 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ para transformar a entrada em

$2, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ para transformar a entrada em

$2, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 3 & 0 + 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

$3, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

$3, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 3 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha

$R_{4} = R_{4} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em

$4, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha

$R_{4} = R_{4} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em

$4, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 3 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.5

Execute a operação de linha

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em

$5, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Execute a operação de linha

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em

$5, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.6

Multiplique cada elemento de

$R_{2}$ por

$\frac{1}{5}$ para tornar a entrada em

$2, 2$ um

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique cada elemento de

$R_{2}$ por

$\frac{1}{5}$ para tornar a entrada em

$2, 2$ um

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.7

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ para transformar a entrada em

$3, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ para transformar a entrada em

$3, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Simplifique

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.8

Execute a operação de linha

$R_{4} = R_{4} + 9 R_{2}$ para transformar a entrada em

$4, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Execute a operação de linha

$R_{4} = R_{4} + 9 R_{2}$ para transformar a entrada em

$4, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.8.2

Simplifique

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.9

Execute a operação de linha

$R_{5} = R_{5} + 2 R_{2}$ para transformar a entrada em

$5, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Execute a operação de linha

$R_{5} = R_{5} + 2 R_{2}$ para transformar a entrada em

$5, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 2.9.2

Simplifique

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.10

Execute a operação de linha

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em

$1, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Execute a operação de linha

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em

$1, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.10.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5

Escreva como um conjunto de soluções.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

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