Álgebra linear Exemplos

5 x - y = - 2

$5 x - y = - 2$ ,

3 x - 4 y = 0

$3 x - 4 y = 0$

Etapa 1

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre o determinante da matriz de coeficientes

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Escreva

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ na notação de determinante.

| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.2

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1

$5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1$

Etapa 2.3

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique

5

$5$ por

- 4

$- 4$ .

- 20 - 3 \cdot - 1

$- 20 - 3 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique

- 3

$- 3$ por

- 1

$- 1$ .

- 20 + 3

$- 20 + 3$

- 20 + 3

$- 20 + 3$

Etapa 2.3.2

Some

- 20

$- 20$ e

3

$3$ .

- 17

$- 17$

- 17

$- 17$

D = - 17

$D = - 17$

Etapa 3

Como o determinante não é

0

$0$ , o sistema pode ser resolvido usando a Regra de Cramer.

Etapa 4

Encontre o valor de

x

$x$ pela regra de Cramer, que afirma que

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a coluna

1

$1$ da matriz de coeficientes que corresponde aos coeficientes

x

$x$ do sistema por

[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Etapa 4.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1

$- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique

- 2

$- 2$ por

- 4

$- 4$ .

8 + 0 \cdot - 1

$8 + 0 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

8 + 0

$8 + 0$

8 + 0

$8 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some

8

$8$ e

0

$0$ .

8

$8$

8

$8$

D_{x} = 8

$D_{x} = 8$

Etapa 4.3

Use a fórmula para resolver

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Etapa 4.4

Substitua

- 17

$- 17$ por

D

$D$ e

8

$8$ por

D_{x}

$D_{x}$ na fórmula.

x = \frac{8}{- 17}

$x = \frac{8}{- 17}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

Etapa 5

Encontre o valor de

y

$y$ pela regra de Cramer, que afirma que

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a coluna

2

$2$ da matriz de coeficientes que corresponde aos coeficientes

y

$y$ do sistema por

[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2

$5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2$

Etapa 5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique

5

$5$ por

0

$0$ .

0 - 3 \cdot - 2

$0 - 3 \cdot - 2$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique

- 3

$- 3$ por

- 2

$- 2$ .

0 + 6

$0 + 6$

0 + 6

$0 + 6$

Etapa 5.2.2.2

Some

0

$0$ e

6

$6$ .

6

$6$

6

$6$

D_{y} = 6

$D_{y} = 6$

Etapa 5.3

Use a fórmula para resolver

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Etapa 5.4

Substitua

- 17

$- 17$ por

D

$D$ e

6

$6$ por

D_{y}

$D_{y}$ na fórmula.

y = \frac{6}{- 17}

$y = \frac{6}{- 17}$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

Etapa 6

Liste a solução para o sistema de equações.

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

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