Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1

Atribua ao conjunto o nome $S$ para usar no problema.

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 2

Crie uma matriz cujas linhas sejam os vetores no conjunto gerador.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linha da matriz.

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Etapa 3.1

Troque $R_{2}$ por $R_{1}$ para colocar uma entrada diferente de zero em $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Etapa 3.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Etapa 3.5

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.5.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Converta as linhas diferentes de zero em vetores de coluna para formar a base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

Etapa 5

Como a base tem $2$ vetores, a dimensão de $S$ é $2$ .

$dim (S) = 2$

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