Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - 3 - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 201 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1

Atribua ao conjunto o nome

S

$S$ para usar no problema.

S = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - 3 - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 201 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 2

Crie uma matriz cujas linhas sejam os vetores no conjunto gerador.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 2 & 3 - 1 & - 3 & - 5 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linha da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Troque

R_{2}

$R_{2}$ por

R_{1}

$R_{1}$ para colocar uma entrada diferente de zero em

1, 1

$1, 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & - 3 & - 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

$- 1$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$- 1$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.3

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em

$3, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em

$3, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Etapa 3.4

Multiplique cada elemento de

$R_{2}$ por

$\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

$2, 2$ um

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada elemento de

$R_{2}$ por

$\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

$2, 2$ um

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Etapa 3.5

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ para transformar a entrada em

$3, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Execute a operação de linha

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ para transformar a entrada em

$3, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6

Execute a operação de linha

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em

$1, 2$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Execute a operação de linha

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em

$1, 2$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Converta as linhas diferentes de zero em vetores de coluna para formar a base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

Etapa 5

Como a base tem

$2$ vetores, a dimensão de

$S$ é

$2$ .

$dim (S) = 2$

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