Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos

0

$0$ . Se não houver elementos

0

$0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha

1

$1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição

-

$-$ no gráfico de sinais.

Etapa 1.3

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiplique o elemento

a_{11}

$a_{11}$ por seu cofator.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.5

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiplique o elemento

a_{12}

$a_{12}$ por seu cofator.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.7

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiplique o elemento

a_{13}

$a_{13}$ por seu cofator.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.9

Adicione os termos juntos.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 (4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 (4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

1

$1$ .

1 (4 - 1 \cdot 2) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 (4 - 1 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

1 (4 - 2) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 (4 - 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 (4 - 2) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 (4 - 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Subtraia

2

$2$ de

4

$4$ .

1 \cdot 2 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 \cdot 2 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 \cdot 2 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot 2 - 3 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

1 \cdot 2 - 3 (3 - 1 \cdot 2) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

1 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2.2

Subtraia

2

$2$ de

3

$3$ .

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 4

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 4)

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 4)$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 1 \cdot 4)

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 1 \cdot 4)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 4)

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 4)$

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 4)

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 4)$

Etapa 4.2.2

Subtraia

4

$4$ de

3

$3$ .

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1

$2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.1.2

Multiplique

- 3

$- 3$ por

1

$1$ .

2 - 3 + 1 \cdot - 1

$2 - 3 + 1 \cdot - 1$

Etapa 5.1.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

2 - 3 - 1

$2 - 3 - 1$

2 - 3 - 1

$2 - 3 - 1$

Etapa 5.2

Subtraia

3

$3$ de

2

$2$ .

- 1 - 1

$- 1 - 1$

Etapa 5.3

Subtraia

1

$1$ de

- 1

$- 1$ .

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

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