Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 4 & 4 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use o gráfico de sinais e a matriz determinada para encontrar o cofator de cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calcule o menor do elemento

a_{11}

$a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

3

$3$ .

a_{11} = 12 - 2 \cdot 4

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique

- 2

$- 2$ por

4

$4$ .

a_{11} = 12 - 8

$a_{11} = 12 - 8$

a_{11} = 12 - 8

$a_{11} = 12 - 8$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia

8

$8$ de

12

$12$ .

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

Etapa 2.2

Calcule o menor do elemento

a_{12}

$a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

3

$3$ .

a_{12} = 12 - 1 \cdot 4

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

a_{12} = 12 - 4

$a_{12} = 12 - 4$

a_{12} = 12 - 4

$a_{12} = 12 - 4$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia

4

$4$ de

12

$12$ .

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

Etapa 2.3

Calcule o menor do elemento

a_{13}

$a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

2

$2$ .

a_{13} = 8 - 1 \cdot 4

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

a_{13} = 8 - 4

$a_{13} = 8 - 4$

a_{13} = 8 - 4

$a_{13} = 8 - 4$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia

4

$4$ de

8

$8$ .

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

Etapa 2.4

Calcule o menor do elemento

$a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O menor para

$a_{21}$ é o determinante com a linha

$2$ e a coluna

$1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia

$2$ de

$6$ .

$a_{21} = 4$

Etapa 2.5

Calcule o menor do elemento

$a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O menor para

$a_{22}$ é o determinante com a linha

$2$ e a coluna

$2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia

$1$ de

$9$ .

$a_{22} = 8$

Etapa 2.6

Calcule o menor do elemento

$a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O menor para

$a_{23}$ é o determinante com a linha

$2$ e a coluna

$3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia

$2$ de

$6$ .

$a_{23} = 4$

Etapa 2.7

Calcule o menor do elemento

$a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O menor para

$a_{31}$ é o determinante com a linha

$3$ e a coluna

$1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique

$2$ por

$4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$8$ .

$a_{31} = 4$

Etapa 2.8

Calcule o menor do elemento

$a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

O menor para

$a_{32}$ é o determinante com a linha

$3$ e a coluna

$2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Etapa 2.8.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$12$ .

$a_{32} = 8$

Etapa 2.9

Calcule o menor do elemento

$a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

O menor para

$a_{33}$ é o determinante com a linha

$3$ e a coluna

$3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia

$8$ de

$12$ .

$a_{33} = 4$

Etapa 2.10

A matriz de cofatores é uma matriz dos menores com o sinal alterado para os elementos nas posições

$-$ no gráfico de sinais.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

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