Álgebra linear Exemplos
[-36-11-71-223-12-458-4]⎡⎢⎣−36−11−71−223−12−458−4⎤⎥⎦
Etapa 1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0Ax=0.
[-36-11-701-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣−36−11−701−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
Etapa 2
Etapa 2.1
Multiplique cada elemento de R1R1 por -13−13 para tornar a entrada em 1,11,1 um 11.
Etapa 2.1.1
Multiplique cada elemento de R1R1 por -13−13 para tornar a entrada em 1,11,1 um 11.
[-13⋅-3-13⋅6-13⋅-1-13⋅1-13⋅-7-13⋅01-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣−13⋅−3−13⋅6−13⋅−1−13⋅1−13⋅−7−13⋅01−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
Etapa 2.1.2
Simplifique R1R1.
[1-213-137301-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣1−213−137301−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
[1-213-137301-223-102-458-40]⎡⎢
⎢⎣1−213−137301−223−102−458−40⎤⎥
⎥⎦
Etapa 2.2
Execute a operação de linha R2=R2-R1R2=R2−R1 para transformar a entrada em 2,12,1 em 00.
Etapa 2.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-R1R2=R2−R1 para transformar a entrada em 2,12,1 em 00.
[1-213-137301-1-2+22-133+13-1-730-02-458-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137301−1−2+22−133+13−1−730−02−458−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.2.2
Simplifique R2R2.
[1-213-137300053103-10302-458-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−10302−458−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-213-137300053103-10302-458-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−10302−458−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.3
Execute a operação de linha R3=R3-2R1R3=R3−2R1 para transformar a entrada em 3,13,1 em 00.
Etapa 2.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-2R1R3=R3−2R1 para transformar a entrada em 3,13,1 em 00.
[1-213-137300053103-10302-2⋅1-4-2⋅-25-2(13)8-2(-13)-4-2(73)0-2⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−10302−2⋅1−4−2⋅−25−2(13)8−2(−13)−4−2(73)0−2⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.3.2
Simplifique R3R3.
[1-213-137300053103-103000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−103000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[1-213-137300053103-103000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300053103−103000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.4
Multiplique cada elemento de R2R2 por 3535 para tornar a entrada em 2,32,3 um 11.
Etapa 2.4.1
Multiplique cada elemento de R2R2 por 3535 para tornar a entrada em 2,32,3 um 11.
[1-213-1373035⋅035⋅035⋅5335⋅10335(-103)35⋅000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−213−1373035⋅035⋅035⋅5335⋅10335(−103)35⋅000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.4.2
Simplifique R2R2.
[1-213-137300012-2000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300012−2000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-213-137300012-2000133263-2630]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300012−2000133263−2630⎤⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.5
Execute a operação de linha R3=R3-133R2R3=R3−133R2 para transformar a entrada em 3,33,3 em 00.
Etapa 2.5.1
Execute a operação de linha R3=R3-133R2R3=R3−133R2 para transformar a entrada em 3,33,3 em 00.
[1-213-137300012-200-133⋅00-133⋅0133-133⋅1263-133⋅2-263-133⋅-20-133⋅0]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−213−137300012−200−133⋅00−133⋅0133−133⋅1263−133⋅2−263−133⋅−20−133⋅0⎤⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 2.5.2
Simplifique R3R3.
[1-213-137300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−213−137300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
[1-213-137300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−213−137300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
Etapa 2.6
Execute a operação de linha R1=R1-13R2R1=R1−13R2 para transformar a entrada em 1,31,3 em 00.
Etapa 2.6.1
Execute a operação de linha R1=R1-13R2R1=R1−13R2 para transformar a entrada em 1,31,3 em 00.
[1-13⋅0-2-13⋅013-13⋅1-13-13⋅273-13⋅-20-13⋅00012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−13⋅0−2−13⋅013−13⋅1−13−13⋅273−13⋅−20−13⋅00012−20000000⎤⎥
⎥⎦
Etapa 2.6.2
Simplifique R1R1.
[1-20-1300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−20−1300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
[1-20-1300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−20−1300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
[1-20-1300012-20000000]⎡⎢
⎢⎣1−20−1300012−20000000⎤⎥
⎥⎦
Etapa 3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x1-2x2-x4+3x5=0x1−2x2−x4+3x5=0
x3+2x4-2x5=0x3+2x4−2x5=0
0=00=0
Etapa 4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[x1x2x3x4x5]=[2x2+x4-3x5x2-2x4+2x5x4x5]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣x1x2x3x4x5⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2x2+x4−3x5x2−2x4+2x5x4x5⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[x1x2x3x4x5]=x2[21000]+x4[10-210]+x5[-30201]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣x1x2x3x4x5⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=x2⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x4⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x5⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 6
Escreva como um conjunto de soluções.
{x2[21000]+x4[10-210]+x5[-30201]|x2,x4,x5∈R}⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩x2⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x4⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦+x5⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣x2,x4,x5∈R⎫⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Etapa 7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[21000],[10-210],[-30201]}⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎫⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Etapa 8
Etapa 8.1
Liste os vetores.
[21000],[10-210],[-30201]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10−210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−30201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.2
Escreva os vetores como uma matriz.
[21-31000-22010001]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21−31000−22010001⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.3
Para determinar se as colunas na matriz são linearmente dependentes, determine se a equação Ax=0Ax=0 tem alguma solução não trivial.
Etapa 8.4
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0Ax=0.
[21-3010000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21−3010000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 8.5.1
Multiplique cada elemento de R1R1 por 1212 para tornar a entrada em 1,11,1 um 11.
Etapa 8.5.1.1
Multiplique cada elemento de R1R1 por 1212 para tornar a entrada em 1,11,1 um 11.
[2212-320210000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2212−320210000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.1.2
Simplifique R1R1.
[112-32010000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32010000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32010000-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32010000−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.2
Execute a operação de linha R2=R2-R1R2=R2−R1 para transformar a entrada em 2,12,1 em 00.
Etapa 8.5.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-R1R2=R2−R1 para transformar a entrada em 2,12,1 em 00.
[112-3201-10-120+320-00-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3201−10−120+320−00−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.2.2
Simplifique R2R2.
[112-3200-123200-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3200−123200−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-3200-123200-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3200−123200−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.3
Multiplique cada elemento de R2R2 por -2−2 para tornar a entrada em 2,22,2 um 11.
Etapa 8.5.3.1
Multiplique cada elemento de R2R2 por -2−2 para tornar a entrada em 2,22,2 um 11.
[112-320-2⋅0-2(-12)-2(32)-2⋅00-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−320−2⋅0−2(−12)−2(32)−2⋅00−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.3.2
Simplifique R2R2.
[112-32001-300-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−300−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-300-22001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−300−22001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.4
Execute a operação de linha R3=R3+2R2R3=R3+2R2 para transformar a entrada em 3,23,2 em 00.
Etapa 8.5.4.1
Execute a operação de linha R3=R3+2R2R3=R3+2R2 para transformar a entrada em 3,23,2 em 00.
[112-32001-300+2⋅0-2+2⋅12+2⋅-30+2⋅001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−300+2⋅0−2+2⋅12+2⋅−30+2⋅001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.4.2
Simplifique R3R3.
[112-32001-3000-4001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−4001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-3000-4001000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−4001000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.5
Execute a operação de linha R4=R4-R2R4=R4−R2 para transformar a entrada em 4,24,2 em 00.
Etapa 8.5.5.1
Execute a operação de linha R4=R4-R2R4=R4−R2 para transformar a entrada em 4,24,2 em 00.
[112-32001-3000-400-01-10+30-00010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−400−01−10+30−00010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.5.2
Simplifique R4R4.
[112-32001-3000-4000300010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−4000300010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-3000-4000300010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000−4000300010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.6
Multiplique cada elemento de R3R3 por -14−14 para tornar a entrada em 3,33,3 um 11.
Etapa 8.5.6.1
Multiplique cada elemento de R3R3 por -14−14 para tornar a entrada em 3,33,3 um 11.
[112-32001-30-14⋅0-14⋅0-14⋅-4-14⋅000300010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30−14⋅0−14⋅0−14⋅−4−14⋅000300010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.6.2
Simplifique R3R3.
[112-32001-30001000300010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000300010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-30001000300010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000300010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.7
Execute a operação de linha R4=R4-3R3R4=R4−3R3 para transformar a entrada em 4,34,3 em 00.
Etapa 8.5.7.1
Execute a operação de linha R4=R4-3R3R4=R4−3R3 para transformar a entrada em 4,34,3 em 00.
[112-32001-3000100-3⋅00-3⋅03-3⋅10-3⋅00010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−3000100−3⋅00−3⋅03−3⋅10−3⋅00010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.7.2
Simplifique R4R4.
[112-32001-30001000000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-30001000000010]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000000010⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.8
Execute a operação de linha R5=R5-R3R5=R5−R3 para transformar a entrada em 5,35,3 em 00.
Etapa 8.5.8.1
Execute a operação de linha R5=R5-R3R5=R5−R3 para transformar a entrada em 5,35,3 em 00.
[112-32001-30001000000-00-01-10-0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000000−00−01−10−0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.8.2
Simplifique R5R5.
[112-32001-30001000000000]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000000000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112-32001-30001000000000]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−32001−30001000000000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.9
Execute a operação de linha R2=R2+3R3R2=R2+3R3 para transformar a entrada em 2,32,3 em 00.
Etapa 8.5.9.1
Execute a operação de linha R2=R2+3R3R2=R2+3R3 para transformar a entrada em 2,32,3 em 00.
[112-3200+3⋅01+3⋅0-3+3⋅10+3⋅0001000000000]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112−3200+3⋅01+3⋅0−3+3⋅10+3⋅0001000000000⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Etapa 8.5.9.2
Simplifique R2.
[112-3200100001000000000]
[112-3200100001000000000]
Etapa 8.5.10
Execute a operação de linha R1=R1+32R3 para transformar a entrada em 1,3 em 0.
Etapa 8.5.10.1
Execute a operação de linha R1=R1+32R3 para transformar a entrada em 1,3 em 0.
[1+32⋅012+32⋅0-32+32⋅10+32⋅00100001000000000]
Etapa 8.5.10.2
Simplifique R1.
[112000100001000000000]
[112000100001000000000]
Etapa 8.5.11
Execute a operação de linha R1=R1-12R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
Etapa 8.5.11.1
Execute a operação de linha R1=R1-12R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
[1-12⋅012-12⋅10-12⋅00-12⋅00100001000000000]
Etapa 8.5.11.2
Simplifique R1.
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
Etapa 8.6
Remova as linhas que são todas zeros.
[100001000010]
Etapa 8.7
Escreva a matriz como um sistema de equações lineares.
x=0
y=0
z=0
Etapa 8.8
Como a única solução para Ax=0 é a solução trivial, os vetores são linearmente independentes.
Linearmente independente
Linearmente independente
Etapa 9
Como os vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para o espaço nulo da matriz.
Base de Nul(A): {[21000],[10-210],[-30201]}
Dimensão de Nul(A): 3
