Álgebra linear Exemplos

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Etapa 1

Atribua ao conjunto o nome $S$ para usar no problema.

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Etapa 2

Crie uma matriz cujas linhas sejam os vetores no conjunto gerador.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linha da matriz.

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Etapa 3.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Etapa 3.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Etapa 3.4

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{8}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{8}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.5

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.5.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4

Converta as linhas diferentes de zero em vetores de coluna para formar a base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

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