Álgebra linear Exemplos

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovetores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.1.3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.1.3.2

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 + 0 3 + 0 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Some

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 + 0 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3.2

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.5

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.1

Expanda

(4 - λ) (3 - λ)

$(4 - λ) (3 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

3

$3$ .

p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.3

Multiplique

3

$3$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.5

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Mova

λ

$λ$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.1.7

Multiplique

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.2.2

Subtraia

3 λ

$3 λ$ de

- 4 λ

$- 4 λ$ .

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.1.5.2.1.3

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Etapa 1.1.5.2.2

Subtraia

6

$6$ de

12

$12$ .

p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Etapa 1.1.5.2.3

Reordene

- 7 λ

$- 7 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Etapa 1.1.6

Defina o polinômio característico como igual a

0

$0$ para encontrar os autovalores

λ

$λ$ .

λ^{2} - 7 λ + 6 = 0

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Etapa 1.1.7

Resolva

λ

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Fatore

λ^{2} - 7 λ + 6

$λ^{2} - 7 λ + 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Considere a forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

c

$c$ e cuja soma é

b

$b$ . Neste caso, cujo produto é

6

$6$ e cuja soma é

- 7

$- 7$ .

- 6, - 1

$- 6, - 1$

Etapa 1.1.7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Etapa 1.1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Etapa 1.1.7.3

Defina

$λ - 6$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1

Defina

$λ - 6$ como igual a

$0$ .

$λ - 6 = 0$

Etapa 1.1.7.3.2

Some

$6$ aos dois lados da equação.

$λ = 6$

Etapa 1.1.7.4

Defina

$λ - 1$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1

Defina

$λ - 1$ como igual a

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Etapa 1.1.7.4.2

Some

$1$ aos dois lados da equação.

$λ = 1$

Etapa 1.1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ verdadeiro.

$λ = 6, 1$

Etapa 1.2

O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde

$N$ é o espaço nulo e

$I$ é a matriz identidade.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 1.3

Encontre o autovetor usando o autovalor

$λ = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Multiplique

$- 6$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.1

Multiplique

$- 6$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Multiplique

$- 6$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Multiplique

$- 6$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.4

Multiplique

$- 6$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Subtraia

$6$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.2

Some

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.3

Some

$3$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.4

Subtraia

$6$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.3

Encontre o espaço nulo quando

$λ = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.2

Execute a operação de linha

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

$2, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Execute a operação de linha

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

$2, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Etapa 1.3.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Etapa 1.3.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 1.3.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 1.4

Encontre o autovetor usando o autovalor

$λ = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Subtraia os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia

$1$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia

$0$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.2.3

Subtraia

$0$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.2.4

Subtraia

$1$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Encontre o espaço nulo quando

$λ = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de

$R_{1}$ por

$\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em

$1, 1$ um

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.2

Execute a operação de linha

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

$2, 1$ em

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Execute a operação de linha

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

$2, 1$ em

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 1.4.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 1.4.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 1.5

O subespaço próprio de

$A$ é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 2

Defina

$P$ como uma matriz dos autovetores.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre o inverso de

$P$ .

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Etapa 3.1

O inverso de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado usando a fórmula

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ onde

$a d - b c$ é o determinante.

Etapa 3.2

Encontre o determinante.

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Etapa 3.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique

$1$ por

$1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique

$- - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Multiplique

$\frac{2}{3}$ por

$1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 2}{3}$

Etapa 3.2.2.4

Some

$3$ e

$2$ .

$\frac{5}{3}$

Etapa 3.3

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 3.4

Substitua os valores conhecidos na fórmula para o inverso.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.6

Multiplique

$\frac{3}{5}$ por

$1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.7

Multiplique

$\frac{3}{5}$ por cada elemento da matriz.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 3.8.1

Multiplique

$\frac{3}{5}$ por

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum de

$3$ .

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Etapa 3.8.2.1

Cancele o fator comum.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.2.2

Reescreva a expressão.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.3

Combine

$\frac{1}{5}$ e

$2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.4

Multiplique

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.8.4.1

Combine

$\frac{3}{5}$ e

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.4.2

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.8.6

Multiplique

$\frac{3}{5}$ por

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Etapa 4

Use a transformação de similaridade para encontrar a matriz diagonal

$D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Etapa 5

Substitua as matrizes.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

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Etapa 6.1.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é

$2 \times 2$ e a segunda matriz é

$2 \times 2$ .

Etapa 6.1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6.1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6.2

Multiplique

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é

$2 \times 2$ e a segunda matriz é

$2 \times 2$ .

Etapa 6.2.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 6.2.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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