Álgebra linear Exemplos

[5202504-14]⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦
Etapa 1
Encontre os autovetores.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre os autovalores.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica p(λ)p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI3)p(λ)=determinante(A−λI3)
Etapa 1.1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho 33 é a matriz quadrada 3×33×3 com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
Etapa 1.1.3
Substitua os valores conhecidos em p(λ)=determinante(A-λI3)p(λ)=determinante(A−λI3).
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.3.1
Substitua [5202504-14]⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦ por AA.
p(λ)=determinante([5202504-14]-λI3)p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
Etapa 1.1.3.2
Substitua [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦ por I3I3.
p(λ)=determinante([5202504-14]-λ[100010001])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]-λ[100010001])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.1
Multiplique -λ−λ por cada elemento da matriz.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.1
Multiplique -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.2
Multiplique -λ⋅0−λ⋅0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.2.1
Multiplique 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.2.2
Multiplique 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.3
Multiplique -λ⋅0−λ⋅0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.3.1
Multiplique 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.3.2
Multiplique 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.4
Multiplique -λ⋅0−λ⋅0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.4.1
Multiplique 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000λ−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.4.2
Multiplique 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.5
Multiplique -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.6
Multiplique -λ⋅0−λ⋅0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.6.1
Multiplique 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.6.2
Multiplique 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.7
Multiplique -λ⋅0−λ⋅0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.7.1
Multiplique 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.7.2
Multiplique 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.8
Multiplique -λ⋅0−λ⋅0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.1.2.8.1
Multiplique 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000λ−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.8.2
Multiplique 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.1.2.9
Multiplique -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 1.1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
p(λ)=determinante[5-λ2+00+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2+00+02+05−λ0+04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Etapa 1.1.4.3
Simplifique cada elemento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.4.3.1
Some 22 e 00.
p(λ)=determinante[5-λ20+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ20+02+05−λ0+04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Etapa 1.1.4.3.2
Some 0 e 0.
p(λ)=determinante[5-λ202+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Etapa 1.1.4.3.3
Some 2 e 0.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ0+04+0-1+04-λ]
Etapa 1.1.4.3.4
Some 0 e 0.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04+0-1+04-λ]
Etapa 1.1.4.3.5
Some 4 e 0.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-1+04-λ]
Etapa 1.1.4.3.6
Some -1 e 0.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-14-λ]
Etapa 1.1.5
Encontre o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.1
Escolha a linha ou coluna com mais elementos 0. Se não houver elementos 0, escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna 3 por seu cofator e some.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.1.1
Considere o gráfico de sinais correspondente.
|+-+-+-+-+|
Etapa 1.1.5.1.2
O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição - no gráfico de sinais.
Etapa 1.1.5.1.3
O menor para a13 é o determinante com a linha 1 e a coluna 3 excluídas.
|25-λ4-1|
Etapa 1.1.5.1.4
Multiplique o elemento a13 por seu cofator.
0|25-λ4-1|
Etapa 1.1.5.1.5
O menor para a23 é o determinante com a linha 2 e a coluna 3 excluídas.
|5-λ24-1|
Etapa 1.1.5.1.6
Multiplique o elemento a23 por seu cofator.
0|5-λ24-1|
Etapa 1.1.5.1.7
O menor para a33 é o determinante com a linha 3 e a coluna 3 excluídas.
|5-λ225-λ|
Etapa 1.1.5.1.8
Multiplique o elemento a33 por seu cofator.
(4-λ)|5-λ225-λ|
Etapa 1.1.5.1.9
Adicione os termos juntos.
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
Etapa 1.1.5.2
Multiplique 0 por |25-λ4-1|.
p(λ)=0+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
Etapa 1.1.5.3
Multiplique 0 por |5-λ24-1|.
p(λ)=0+0+(4-λ)|5-λ225-λ|
Etapa 1.1.5.4
Avalie |5-λ225-λ|.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0+(4-λ)((5-λ)(5-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.2.1.1
Expanda (5-λ)(5-λ) usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5(5-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplique 5 por 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplique -1 por 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplique 5 por -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-λ(-λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplique λ por λ somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mova λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplique λ por λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplique -1 por -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+1λ2-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplique λ2 por 1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.2.2
Subtraia 5λ de -5λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
Etapa 1.1.5.4.2.1.3
Multiplique -2 por 2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
Etapa 1.1.5.4.2.2
Subtraia 4 de 25.
p(λ)=0+0+(4-λ)(-10λ+λ2+21)
Etapa 1.1.5.4.2.3
Reordene -10λ e λ2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
Etapa 1.1.5.5
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.5.1
Combine os termos opostos em 0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21).
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.5.1.1
Some 0 e 0.
p(λ)=0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
Etapa 1.1.5.5.1.2
Some 0 e (4-λ)(λ2-10λ+21).
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
Etapa 1.1.5.5.2
Expanda (4-λ)(λ2-10λ+21) multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.
p(λ)=4λ2+4(-10λ)+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.5.3.1
Multiplique -10 por 4.
p(λ)=4λ2-40λ+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.2
Multiplique 4 por 21.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.3
Multiplique λ por λ2 somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.5.3.3.1
Mova λ2.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ)-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.3.2
Multiplique λ2 por λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.5.3.3.2.1
Eleve λ à potência de 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ1)-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.3.2.2
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.3.3
Some 2 e 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ⋅λ-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.5
Multiplique λ por λ somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.5.3.5.1
Mova λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10(λ⋅λ)-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.5.2
Multiplique λ por λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.6
Multiplique -1 por -10.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-λ⋅21
Etapa 1.1.5.5.3.7
Multiplique 21 por -1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
Etapa 1.1.5.5.4
Some 4λ2 e 10λ2.
p(λ)=14λ2-40λ+84-λ3-21λ
Etapa 1.1.5.5.5
Subtraia 21λ de -40λ.
p(λ)=14λ2-61λ+84-λ3
Etapa 1.1.5.5.6
Mova 84.
p(λ)=14λ2-61λ-λ3+84
Etapa 1.1.5.5.7
Mova -61λ.
p(λ)=14λ2-λ3-61λ+84
Etapa 1.1.5.5.8
Reordene 14λ2 e -λ3.
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
Etapa 1.1.6
Defina o polinômio característico como igual a 0 para encontrar os autovalores λ.
-λ3+14λ2-61λ+84=0
Etapa 1.1.7
Resolva λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.1
Fatore -λ3+14λ2-61λ+84 usando o teste das raízes racionais.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.1.1
Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma pq, em que p é um fator da constante e q é um fator do coeficiente de maior ordem.
p=±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
q=±1
Etapa 1.1.7.1.1.2
Encontre todas as combinações de ±pq. Essas são as raízes possíveis da função polinomial.
±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
Etapa 1.1.7.1.1.3
Substitua 3 e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a 0. Portanto, 3 é uma raiz do polinômio.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.1.3.1
Substitua 3 no polinômio.
-33+14⋅32-61⋅3+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.2
Eleve 3 à potência de 3.
-1⋅27+14⋅32-61⋅3+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.3
Multiplique -1 por 27.
-27+14⋅32-61⋅3+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.4
Eleve 3 à potência de 2.
-27+14⋅9-61⋅3+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.5
Multiplique 14 por 9.
-27+126-61⋅3+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.6
Some -27 e 126.
99-61⋅3+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.7
Multiplique -61 por 3.
99-183+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.8
Subtraia 183 de 99.
-84+84
Etapa 1.1.7.1.1.3.9
Some -84 e 84.
0
0
Etapa 1.1.7.1.1.4
Como 3 é uma raiz conhecida, divida o polinômio por λ-3 para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.
-λ3+14λ2-61λ+84λ-3
Etapa 1.1.7.1.1.5
Divida -λ3+14λ2-61λ+84 por λ-3.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.1.5.1
Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de 0.
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
Etapa 1.1.7.1.1.5.2
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo -λ3 pelo termo de ordem mais alta no divisor λ.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
Etapa 1.1.7.1.1.5.3
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
-λ3+3λ2
Etapa 1.1.7.1.1.5.4
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em -λ3+3λ2.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
Etapa 1.1.7.1.1.5.5
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2
Etapa 1.1.7.1.1.5.6
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
Etapa 1.1.7.1.1.5.7
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo 11λ2 pelo termo de ordem mais alta no divisor λ.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
Etapa 1.1.7.1.1.5.8
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
+11λ2-33λ
Etapa 1.1.7.1.1.5.9
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em 11λ2-33λ.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
Etapa 1.1.7.1.1.5.10
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ
Etapa 1.1.7.1.1.5.11
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
Etapa 1.1.7.1.1.5.12
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo -28λ pelo termo de ordem mais alta no divisor λ.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
Etapa 1.1.7.1.1.5.13
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
-28λ+84
Etapa 1.1.7.1.1.5.14
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em -28λ+84.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
+28λ-84
Etapa 1.1.7.1.1.5.15
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
+28λ-84
0
Etapa 1.1.7.1.1.5.16
Since the remainder is 0, the final answer is the quotient.
-λ2+11λ-28
-λ2+11λ-28
Etapa 1.1.7.1.1.6
Escreva -λ3+14λ2-61λ+84 como um conjunto de fatores.
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
Etapa 1.1.7.1.2
Fatore por agrupamento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.2.1
Fatore por agrupamento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.2.1.1
Para um polinômio da forma ax2+bx+c, reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é a⋅c=-1⋅-28=28 e cuja soma é b=11.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.2.1.1.1
Fatore 11 de 11λ.
(λ-3)(-λ2+11(λ)-28)=0
Etapa 1.1.7.1.2.1.1.2
Reescreva 11 como 4 mais 7
(λ-3)(-λ2+(4+7)λ-28)=0
Etapa 1.1.7.1.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
Etapa 1.1.7.1.2.1.2
Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.2.1.2.1
Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.
(λ-3)((-λ2+4λ)+7λ-28)=0
Etapa 1.1.7.1.2.1.2.2
Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
Etapa 1.1.7.1.2.1.3
Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, -λ+4.
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
Etapa 1.1.7.1.2.2
Remova os parênteses desnecessários.
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
Etapa 1.1.7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a 0, toda a expressão será igual a 0.
λ-3=0
-λ+4=0
λ-7=0
Etapa 1.1.7.3
Defina λ-3 como igual a 0 e resolva para λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.3.1
Defina λ-3 como igual a 0.
λ-3=0
Etapa 1.1.7.3.2
Some 3 aos dois lados da equação.
λ=3
λ=3
Etapa 1.1.7.4
Defina -λ+4 como igual a 0 e resolva para λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.4.1
Defina -λ+4 como igual a 0.
-λ+4=0
Etapa 1.1.7.4.2
Resolva -λ+4=0 para λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.4.2.1
Subtraia 4 dos dois lados da equação.
-λ=-4
Etapa 1.1.7.4.2.2
Divida cada termo em -λ=-4 por -1 e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.4.2.2.1
Divida cada termo em -λ=-4 por -1.
-λ-1=-4-1
Etapa 1.1.7.4.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.4.2.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
λ1=-4-1
Etapa 1.1.7.4.2.2.2.2
Divida λ por 1.
λ=-4-1
λ=-4-1
Etapa 1.1.7.4.2.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.4.2.2.3.1
Divida -4 por -1.
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
Etapa 1.1.7.5
Defina λ-7 como igual a 0 e resolva para λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.5.1
Defina λ-7 como igual a 0.
λ-7=0
Etapa 1.1.7.5.2
Some 7 aos dois lados da equação.
λ=7
λ=7
Etapa 1.1.7.6
A solução final são todos os valores que tornam (λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0 verdadeiro.
λ=3,4,7
λ=3,4,7
λ=3,4,7
Etapa 1.2
O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde N é o espaço nulo e I é a matriz identidade.
εA=N(A-λI3)
Etapa 1.3
Encontre o autovetor usando o autovalor λ=3.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([5202504-14]-3[100010001])
Etapa 1.3.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.1.1
Multiplique -3 por cada elemento da matriz.
[5202504-14]+[-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.1.2.1
Multiplique -3 por 1.
[5202504-14]+[-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.2
Multiplique -3 por 0.
[5202504-14]+[-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.3
Multiplique -3 por 0.
[5202504-14]+[-300-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.4
Multiplique -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.5
Multiplique -3 por 1.
[5202504-14]+[-3000-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.6
Multiplique -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.7
Multiplique -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-300-3⋅0-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.8
Multiplique -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-3000-3⋅1]
Etapa 1.3.2.1.2.9
Multiplique -3 por 1.
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
Etapa 1.3.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[5-32+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3
Simplifique cada elemento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.3.1
Subtraia 3 de 5.
[22+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.2
Some 2 e 0.
[220+02+05-30+04+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.3
Some 0 e 0.
[2202+05-30+04+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.4
Some 2 e 0.
[22025-30+04+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.5
Subtraia 3 de 5.
[220220+04+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.6
Some 0 e 0.
[2202204+0-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.7
Some 4 e 0.
[2202204-1+04-3]
Etapa 1.3.2.3.8
Some -1 e 0.
[2202204-14-3]
Etapa 1.3.2.3.9
Subtraia 3 de 4.
[2202204-11]
[2202204-11]
[2202204-11]
Etapa 1.3.3
Encontre o espaço nulo quando λ=3.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0.
[220022004-110]
Etapa 1.3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.1
Multiplique cada elemento de R1 por 12 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de R1 por 12 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
[2222020222004-110]
Etapa 1.3.3.2.1.2
Simplifique R1.
[110022004-110]
[110022004-110]
Etapa 1.3.3.2.2
Execute a operação de linha R2=R2-2R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-2R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
[11002-2⋅12-2⋅10-2⋅00-2⋅04-110]
Etapa 1.3.3.2.2.2
Simplifique R2.
[110000004-110]
[110000004-110]
Etapa 1.3.3.2.3
Execute a operação de linha R3=R3-4R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-4R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
[110000004-4⋅1-1-4⋅11-4⋅00-4⋅0]
Etapa 1.3.3.2.3.2
Simplifique R3.
[110000000-510]
[110000000-510]
Etapa 1.3.3.2.4
Troque R3 por R2 para colocar uma entrada diferente de zero em 2,2.
[11000-5100000]
Etapa 1.3.3.2.5
Multiplique cada elemento de R2 por -15 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.5.1
Multiplique cada elemento de R2 por -15 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
[1100-15⋅0-15⋅-5-15⋅1-15⋅00000]
Etapa 1.3.3.2.5.2
Simplifique R2.
[110001-1500000]
[110001-1500000]
Etapa 1.3.3.2.6
Execute a operação de linha R1=R1-R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.6.1
Execute a operação de linha R1=R1-R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
[1-01-10+150-001-1500000]
Etapa 1.3.3.2.6.2
Simplifique R1.
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
Etapa 1.3.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x+15z=0
y-15z=0
0=0
Etapa 1.3.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[xyz]=[-z5z5z]
Etapa 1.3.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[xyz]=z[-15151]
Etapa 1.3.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
{z[-15151]|z∈R}
Etapa 1.3.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[-15151]}
{[-15151]}
{[-15151]}
Etapa 1.4
Encontre o autovetor usando o autovalor λ=4.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([5202504-14]-4[100010001])
Etapa 1.4.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1.1
Multiplique -4 por cada elemento da matriz.
[5202504-14]+[-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1.2.1
Multiplique -4 por 1.
[5202504-14]+[-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.2
Multiplique -4 por 0.
[5202504-14]+[-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.3
Multiplique -4 por 0.
[5202504-14]+[-400-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.4
Multiplique -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.5
Multiplique -4 por 1.
[5202504-14]+[-4000-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.6
Multiplique -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.7
Multiplique -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-400-4⋅0-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.8
Multiplique -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-4000-4⋅1]
Etapa 1.4.2.1.2.9
Multiplique -4 por 1.
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
Etapa 1.4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[5-42+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3
Simplifique cada elemento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.3.1
Subtraia 4 de 5.
[12+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.2
Some 2 e 0.
[120+02+05-40+04+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.3
Some 0 e 0.
[1202+05-40+04+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.4
Some 2 e 0.
[12025-40+04+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.5
Subtraia 4 de 5.
[120210+04+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.6
Some 0 e 0.
[1202104+0-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.7
Some 4 e 0.
[1202104-1+04-4]
Etapa 1.4.2.3.8
Some -1 e 0.
[1202104-14-4]
Etapa 1.4.2.3.9
Subtraia 4 de 4.
[1202104-10]
[1202104-10]
[1202104-10]
Etapa 1.4.3
Encontre o espaço nulo quando λ=4.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0.
[120021004-100]
Etapa 1.4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-2R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.2.1.1
Execute a operação de linha R2=R2-2R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
[12002-2⋅11-2⋅20-2⋅00-2⋅04-100]
Etapa 1.4.3.2.1.2
Simplifique R2.
[12000-3004-100]
[12000-3004-100]
Etapa 1.4.3.2.2
Execute a operação de linha R3=R3-4R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.2.2.1
Execute a operação de linha R3=R3-4R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
[12000-3004-4⋅1-1-4⋅20-4⋅00-4⋅0]
Etapa 1.4.3.2.2.2
Simplifique R3.
[12000-3000-900]
[12000-3000-900]
Etapa 1.4.3.2.3
Multiplique cada elemento de R2 por -13 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.2.3.1
Multiplique cada elemento de R2 por -13 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
[1200-13⋅0-13⋅-3-13⋅0-13⋅00-900]
Etapa 1.4.3.2.3.2
Simplifique R2.
[120001000-900]
[120001000-900]
Etapa 1.4.3.2.4
Execute a operação de linha R3=R3+9R2 para transformar a entrada em 3,2 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.2.4.1
Execute a operação de linha R3=R3+9R2 para transformar a entrada em 3,2 em 0.
[120001000+9⋅0-9+9⋅10+9⋅00+9⋅0]
Etapa 1.4.3.2.4.2
Simplifique R3.
[120001000000]
[120001000000]
Etapa 1.4.3.2.5
Execute a operação de linha R1=R1-2R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.2.5.1
Execute a operação de linha R1=R1-2R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
[1-2⋅02-2⋅10-2⋅00-2⋅001000000]
Etapa 1.4.3.2.5.2
Simplifique R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Etapa 1.4.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x=0
y=0
0=0
Etapa 1.4.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[xyz]=[00z]
Etapa 1.4.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[xyz]=z[001]
Etapa 1.4.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
{z[001]|z∈R}
Etapa 1.4.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Etapa 1.5
Encontre o autovetor usando o autovalor λ=7.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([5202504-14]-7[100010001])
Etapa 1.5.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.1
Multiplique -7 por cada elemento da matriz.
[5202504-14]+[-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.2.1
Multiplique -7 por 1.
[5202504-14]+[-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.2
Multiplique -7 por 0.
[5202504-14]+[-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.3
Multiplique -7 por 0.
[5202504-14]+[-700-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.4
Multiplique -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.5
Multiplique -7 por 1.
[5202504-14]+[-7000-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.6
Multiplique -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.7
Multiplique -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-700-7⋅0-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.8
Multiplique -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-7000-7⋅1]
Etapa 1.5.2.1.2.9
Multiplique -7 por 1.
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
Etapa 1.5.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[5-72+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3
Simplifique cada elemento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.3.1
Subtraia 7 de 5.
[-22+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.2
Some 2 e 0.
[-220+02+05-70+04+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.3
Some 0 e 0.
[-2202+05-70+04+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.4
Some 2 e 0.
[-22025-70+04+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.5
Subtraia 7 de 5.
[-2202-20+04+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.6
Some 0 e 0.
[-2202-204+0-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.7
Some 4 e 0.
[-2202-204-1+04-7]
Etapa 1.5.2.3.8
Some -1 e 0.
[-2202-204-14-7]
Etapa 1.5.2.3.9
Subtraia 7 de 4.
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
Etapa 1.5.3
Encontre o espaço nulo quando λ=7.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0.
[-22002-2004-1-30]
Etapa 1.5.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1
Multiplique cada elemento de R1 por -12 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de R1 por -12 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅0-12⋅02-2004-1-30]
Etapa 1.5.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1-1002-2004-1-30]
[1-1002-2004-1-30]
Etapa 1.5.3.2.2
Execute a operação de linha R2=R2-2R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-2R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
[1-1002-2⋅1-2-2⋅-10-2⋅00-2⋅04-1-30]
Etapa 1.5.3.2.2.2
Simplifique R2.
[1-10000004-1-30]
[1-10000004-1-30]
Etapa 1.5.3.2.3
Execute a operação de linha R3=R3-4R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-4R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
[1-10000004-4⋅1-1-4⋅-1-3-4⋅00-4⋅0]
Etapa 1.5.3.2.3.2
Simplifique R3.
[1-100000003-30]
[1-100000003-30]
Etapa 1.5.3.2.4
Troque R3 por R2 para colocar uma entrada diferente de zero em 2,2.
[1-10003-300000]
Etapa 1.5.3.2.5
Multiplique cada elemento de R2 por 13 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.5.1
Multiplique cada elemento de R2 por 13 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
[1-1000333-33030000]
Etapa 1.5.3.2.5.2
Simplifique R2.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
Etapa 1.5.3.2.6
Execute a operação de linha R1=R1+R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.6.1
Execute a operação de linha R1=R1+R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
[1+0-1+1⋅10-10+001-100000]
Etapa 1.5.3.2.6.2
Simplifique R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
Etapa 1.5.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x-z=0
y-z=0
0=0
Etapa 1.5.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[xyz]=[zzz]
Etapa 1.5.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[xyz]=z[111]
Etapa 1.5.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
{z[111]|z∈R}
Etapa 1.5.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
Etapa 1.6
O subespaço próprio de A é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.
{[-15151],[001],[111]}
{[-15151],[001],[111]}
Etapa 2
Defina P como uma matriz dos autovetores.
P=[-15011501111]
Etapa 3
Encontre o inverso de P.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Encontre o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1
Escolha a linha ou coluna com mais elementos 0. Se não houver elementos 0, escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna 2 por seu cofator e some.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1.1
Considere o gráfico de sinais correspondente.
|+-+-+-+-+|
Etapa 3.1.1.2
O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição - no gráfico de sinais.
Etapa 3.1.1.3
O menor para a12 é o determinante com a linha 1 e a coluna 2 excluídas.
|15111|
Etapa 3.1.1.4
Multiplique o elemento a12 por seu cofator.
0|15111|
Etapa 3.1.1.5
O menor para a22 é o determinante com a linha 2 e a coluna 2 excluídas.
|-15111|
Etapa 3.1.1.6
Multiplique o elemento a22 por seu cofator.
0|-15111|
Etapa 3.1.1.7
O menor para a32 é o determinante com a linha 3 e a coluna 2 excluídas.
|-151151|
Etapa 3.1.1.8
Multiplique o elemento a32 por seu cofator.
-1|-151151|
Etapa 3.1.1.9
Adicione os termos juntos.
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
Etapa 3.1.2
Multiplique 0 por |15111|.
0+0|-15111|-1|-151151|
Etapa 3.1.3
Multiplique 0 por |-15111|.
0+0-1|-151151|
Etapa 3.1.4
Avalie |-151151|.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.4.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
0+0-1(-15⋅1-15⋅1)
Etapa 3.1.4.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.4.2.1.1
Multiplique -1 por 1.
0+0-1(-15-15⋅1)
Etapa 3.1.4.2.1.2
Multiplique -1 por 1.
0+0-1(-15-15)
0+0-1(-15-15)
Etapa 3.1.4.2.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
0+0-1-1-15
Etapa 3.1.4.2.3
Subtraia 1 de -1.
0+0-1(-25)
Etapa 3.1.4.2.4
Mova o número negativo para a frente da fração.
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
Etapa 3.1.5
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.5.1
Multiplique -1(-25).
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.5.1.1
Multiplique -1 por -1.
0+0+1(25)
Etapa 3.1.5.1.2
Multiplique 25 por 1.
0+0+25
0+0+25
Etapa 3.1.5.2
Some 0 e 0.
0+25
Etapa 3.1.5.3
Some 0 e 25.
25
25
25
Etapa 3.2
Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.
Etapa 3.3
Configure uma matriz 3×6 onde a metade esquerda é a matriz original e a metade direita é sua matriz identidade.
P-1=[-15011001501010111001]
Etapa 3.4
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.1
Multiplique cada elemento de R1 por -5 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.1.1
Multiplique cada elemento de R1 por -5 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
P-1=[-5(-15)-5⋅0-5⋅1-5⋅1-5⋅0-5⋅01501010111001]
Etapa 3.4.1.2
Simplifique R1.
P-1=[10-5-5001501010111001]
P-1=[10-5-5001501010111001]
Etapa 3.4.2
Execute a operação de linha R2=R2-15R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-15R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
P-1=[10-5-50015-15⋅10-15⋅01-15⋅-50-15⋅-51-15⋅00-15⋅0111001]
Etapa 3.4.2.2
Simplifique R2.
P-1=[10-5-500002110111001]
P-1=[10-5-500002110111001]
Etapa 3.4.3
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
P-1=[10-5-5000021101-11-01+50+50-01-0]
Etapa 3.4.3.2
Simplifique R3.
P-1=[10-5-500002110016501]
P-1=[10-5-500002110016501]
Etapa 3.4.4
Troque R3 por R2 para colocar uma entrada diferente de zero em 2,2.
P-1=[10-5-500016501002110]
Etapa 3.4.5
Multiplique cada elemento de R3 por 12 para tornar a entrada em 3,3 um 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.5.1
Multiplique cada elemento de R3 por 12 para tornar a entrada em 3,3 um 1.
P-1=[10-5-500016501020222121202]
Etapa 3.4.5.2
Simplifique R3.
P-1=[10-5-50001650100112120]
P-1=[10-5-50001650100112120]
Etapa 3.4.6
Execute a operação de linha R2=R2-6R3 para transformar a entrada em 2,3 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.6.1
Execute a operação de linha R2=R2-6R3 para transformar a entrada em 2,3 em 0.
P-1=[10-5-5000-6⋅01-6⋅06-6⋅15-6(12)0-6(12)1-6⋅000112120]
Etapa 3.4.6.2
Simplifique R2.
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
Etapa 3.4.7
Execute a operação de linha R1=R1+5R3 para transformar a entrada em 1,3 em 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.7.1
Execute a operação de linha R1=R1+5R3 para transformar a entrada em 1,3 em 0.
P-1=[1+5⋅00+5⋅0-5+5⋅1-5+5(12)0+5(12)0+5⋅00102-3100112120]
Etapa 3.4.7.2
Simplifique R1.
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
Etapa 3.5
A metade direita da forma escalonada reduzida é o inverso.
P-1=[-525202-3112120]
P-1=[-525202-3112120]
Etapa 4
Use a transformação de similaridade para encontrar a matriz diagonal D.
D=P-1AP
Etapa 5
Substitua as matrizes.
[-525202-3112120][5202504-14][-15011501111]
Etapa 6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Multiplique [-525202-3112120][5202504-14].
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1
Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é 3×3 e a segunda matriz é 3×3.
Etapa 6.1.2
Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.
[-52⋅5+52⋅2+0⋅4-52⋅2+52⋅5+0⋅-1-52⋅0+52⋅0+0⋅42⋅5-3⋅2+1⋅42⋅2-3⋅5+1⋅-12⋅0-3⋅0+1⋅412⋅5+12⋅2+0⋅412⋅2+12⋅5+0⋅-112⋅0+12⋅0+0⋅4][-15011501111]
Etapa 6.1.3
Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.
[-15215208-12472720][-15011501111]
[-15215208-12472720][-15011501111]
Etapa 6.2
Multiplique [-15215208-12472720][-15011501111].
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é 3×3 e a segunda matriz é 3×3.
Etapa 6.2.2
Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.
[-152(-15)+152⋅15+0⋅1-152⋅0+152⋅0+0⋅1-152⋅1+152⋅1+0⋅18(-15)-12(15)+4⋅18⋅0-12⋅0+4⋅18⋅1-12⋅1+4⋅172(-15)+72⋅15+0⋅172⋅0+72⋅0+0⋅172⋅1+72⋅1+0⋅1]
Etapa 6.2.3
Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.
[300040007]
[300040007]
[300040007]
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