Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovetores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 1.1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 1.1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.1.4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3.2

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3.3

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3.5

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.4.3.6

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.1.5

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna $3$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 1.1.5.1.3

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.4

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.5

O menor para $a_{23}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.6

Multiplique o elemento $a_{23}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.7

O menor para $a_{33}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.8

Multiplique o elemento $a_{33}$ por seu cofator.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.1.5.1.9

Adicione os termos juntos.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.1.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.2.1.1

Expanda $(5 - λ) (5 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.2.2

Subtraia $5 λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.1.5.4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Etapa 1.1.5.4.2.2

Subtraia $4$ de $25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Etapa 1.1.5.4.2.3

Reordene $- 10 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Etapa 1.1.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.5.1

Combine os termos opostos em $0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.5.1.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Etapa 1.1.5.5.1.2

Some $0$ e $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Etapa 1.1.5.5.2

Expanda $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.5.3.1

Multiplique $- 10$ por $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.2

Multiplique $4$ por $21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.3

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.5.3.3.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.3.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.5.3.3.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.5.3.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Etapa 1.1.5.5.3.7

Multiplique $21$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Etapa 1.1.5.5.4

Some $4 λ^{2}$ e $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Etapa 1.1.5.5.5

Subtraia $21 λ$ de $- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Etapa 1.1.5.5.6

Mova $84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Etapa 1.1.5.5.7

Mova $- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Etapa 1.1.5.5.8

Reordene $14 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Etapa 1.1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Etapa 1.1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Fatore $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.5

Multiplique $14$ por $9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.6

Some $- 27$ e $126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.7

Multiplique $- 61$ por $3$ .

$99 - 183 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.8

Subtraia $183$ de $99$ .

$- 84 + 84$

Etapa 1.1.7.1.1.3.9

Some $- 84$ e $84$ .

$0$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Etapa 1.1.7.1.1.5

Divida $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ por $λ - 3$ .

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Etapa 1.1.7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Etapa 1.1.7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Etapa 1.1.7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Etapa 1.1.7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Etapa 1.1.7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Etapa 1.1.7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Etapa 1.1.7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $11 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Etapa 1.1.7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Etapa 1.1.7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $11 λ^{2} - 33 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Etapa 1.1.7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Etapa 1.1.7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Etapa 1.1.7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 28 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Etapa 1.1.7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Etapa 1.1.7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 28 λ + 84$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Etapa 1.1.7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Etapa 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is $0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Etapa 1.1.7.1.1.6

Escreva $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ e cuja soma é $b = 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.2.1.1.1

Fatore $11$ de $11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2.1.1.2

Reescreva $11$ como $4$ mais $7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Etapa 1.1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Etapa 1.1.7.3

Defina $λ - 3$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 1.1.7.3.1

Defina $λ - 3$ como igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Etapa 1.1.7.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$λ = 3$

Etapa 1.1.7.4

Defina $- λ + 4$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1

Defina $- λ + 4$ como igual a $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Etapa 1.1.7.4.2

Resolva $- λ + 4 = 0$ para $λ$ .

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Etapa 1.1.7.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- λ = - 4$

Etapa 1.1.7.4.2.2

Divida cada termo em $- λ = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.2.2.1

Divida cada termo em $- λ = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.7.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.7.4.2.2.2.2

Divida $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.1.7.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.7.4.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$λ = 4$

Etapa 1.1.7.5

Defina $λ - 7$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 1.1.7.5.1

Defina $λ - 7$ como igual a $0$ .

$λ - 7 = 0$

Etapa 1.1.7.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$λ = 7$

Etapa 1.1.7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ verdadeiro.

$λ = 3, 4, 7$

Etapa 1.2

O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde $N$ é o espaço nulo e $I$ é a matriz identidade.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Etapa 1.3

Encontre o autovetor usando o autovalor $λ = 3$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.1

Multiplique $- 3$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.6

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.7

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.8

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.1.2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique cada elemento.

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Etapa 1.3.2.3.1

Subtraia $3$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.2

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.4

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.5

Subtraia $3$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.7

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.8

Some $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Etapa 1.3.2.3.9

Subtraia $3$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.3

Encontre o espaço nulo quando $λ = 3$ .

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Etapa 1.3.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 1.3.3.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.4

Troque $R_{3}$ por $R_{2}$ para colocar uma entrada diferente de zero em $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.5

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{5}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{5}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.5.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Etapa 1.3.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Etapa 1.3.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1.3.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 1.3.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 1.4

Encontre o autovetor usando o autovalor $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Multiplique $- 4$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.6

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.7

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.8

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.1.2.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.2

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.4

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.5

Subtraia $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.7

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.8

Some $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Etapa 1.4.2.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Encontre o espaço nulo quando $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.4

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.4.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.5

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.5.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2.5.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 1.4.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 1.4.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 1.5

Encontre o autovetor usando o autovalor $λ = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Multiplique $- 7$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.3

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.4

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.6

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.7

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.8

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.1.2.9

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1

Subtraia $7$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.2

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.4

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.5

Subtraia $7$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.7

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.8

Some $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Etapa 1.5.2.3.9

Subtraia $7$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 1.5.3

Encontre o espaço nulo quando $λ = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.4

Troque $R_{3}$ por $R_{2}$ para colocar uma entrada diferente de zero em $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.5

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 1.5.3.2.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.5.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 1.5.3.2.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Etapa 1.5.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Etapa 1.5.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1.5.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 1.5.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 1.6

O subespaço próprio de $A$ é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 2

Defina $P$ como uma matriz dos autovetores.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre o inverso de $P$ .

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Etapa 3.1

Encontre o determinante.

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Etapa 3.1.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna $2$ por seu cofator e some.

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Etapa 3.1.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 3.1.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 3.1.1.3

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.1.4

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.1.5

O menor para $a_{22}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.1.6

Multiplique o elemento $a_{22}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.1.7

O menor para $a_{32}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.1.8

Multiplique o elemento $a_{32}$ por seu cofator.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.1.9

Adicione os termos juntos.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Etapa 3.1.4

Avalie $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

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Etapa 3.1.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Etapa 3.1.4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 3.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Etapa 3.1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Etapa 3.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Etapa 3.1.4.2.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Etapa 3.1.4.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Etapa 3.1.5

Simplifique o determinante.

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 1 (- \frac{2}{5})$ .

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Etapa 3.1.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Etapa 3.1.5.1.2

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Etapa 3.1.5.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Etapa 3.1.5.3

Some $0$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Etapa 3.2

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 3.3

Configure uma matriz $3 \times 6$ onde a metade esquerda é a matriz original e a metade direita é sua matriz identidade.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.4

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- 5$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- 5$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.4.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.4.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.4.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.4.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.4.4

Troque $R_{3}$ por $R_{2}$ para colocar uma entrada diferente de zero em $2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.5

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Etapa 3.4.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.6

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.4.6.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.4.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.5

A metade direita da forma escalonada reduzida é o inverso.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Use a transformação de similaridade para encontrar a matriz diagonal $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Etapa 5

Substitua as matrizes.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

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Etapa 6.1.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é $3 \times 3$ e a segunda matriz é $3 \times 3$ .

Etapa 6.1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6.1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6.2

Multiplique $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

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Etapa 6.2.1

Etapa 6.2.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 6.2.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

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