Álgebra linear Exemplos

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{3}$ para $ℝ^{3}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 6.1

Reorganize $2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6.2

Reorganize $x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6.3

Reorganize $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Etapa 7

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Etapa 8

A propriedade de adição da transformação é verdadeira.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Etapa 9

Para que uma transformação seja linear, ela deve manter a multiplicação escalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Etapa 10

Fatore $p$ a partir de cada elemento.

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Etapa 10.1

Multiplique $p$ por cada elemento na matriz.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Etapa 10.2

Aplique a transformação ao vetor.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Etapa 10.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 10.3.1

Reorganize $2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Etapa 10.3.2

Reorganize $(p a) + 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Etapa 10.3.3

Reorganize $2 (p a + p b + 2 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Etapa 10.4

Fatore cada elemento da matriz.

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Etapa 10.4.1

Fatore o elemento $0, 0$ multiplicando $2 a p - 12 b p + 12 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Etapa 10.4.2

Fatore o elemento $1, 0$ multiplicando $a p + 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Etapa 10.4.3

Fatore o elemento $2, 0$ multiplicando $2 a p + 2 b p + 4 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

Etapa 11

A segunda propriedade das transformações lineares é preservada nesta transformação.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Etapa 12

Para que a transformação seja linear, preserve o vetor zero.

$S (0) = 0$

Etapa 13

Aplique a transformação ao vetor.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Etapa 14

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 14.1

Reorganize $2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Etapa 14.2

Reorganize $(0) + 2 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Etapa 14.3

Reorganize $2 (0) + 0 + 2 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 15

O vetor zero é preservado pela transformação.

$S (0) = 0$

Etapa 16

Como as três propriedades das transformações lineares não correspondem, esta não é uma transformação linear.

Transformação linear

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