Álgebra linear Exemplos
S([abc])=[a-3b-3c3a-b-3ca-b+c]S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣a−3b−3c3a−b−3ca−b+c⎤⎥⎦
Etapa 1
A transformação define um mapa de ℝ3R3 para ℝ3R3. Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.
S: ℝ3→ℝ3R3→R3
Etapa 2
Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.
S(x+y)=S(x)+S(y)S(x+y)=S(x)+S(y)
Etapa 3
Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para SS.
S([x1x2x3]+[y1y2y3])S⎛⎜⎝⎡⎢⎣x1x2x3⎤⎥⎦+⎡⎢⎣y1y2y3⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Etapa 4
Some as duas matrizes.
S[x1+y1x2+y2x3+y3]S⎡⎢⎣x1+y1x2+y2x3+y3⎤⎥⎦
Etapa 5
Aplique a transformação ao vetor.
S(x+y)=[x1+y1-3(x2+y2)-3(x3+y3)3(x1+y1)-(x2+y2)-3(x3+y3)x1+y1-(x2+y2)+x3+y3]S(x+y)=⎡⎢⎣x1+y1−3(x2+y2)−3(x3+y3)3(x1+y1)−(x2+y2)−3(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
Etapa 6
Etapa 6.1
Reorganize x1+y1-3(x2+y2)-3(x3+y3)x1+y1−3(x2+y2)−3(x3+y3).
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33(x1+y1)-(x2+y2)-3(x3+y3)x1+y1-(x2+y2)+x3+y3]S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33(x1+y1)−(x2+y2)−3(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
Etapa 6.2
Reorganize 3(x1+y1)-(x2+y2)-3(x3+y3)3(x1+y1)−(x2+y2)−3(x3+y3).
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33x1-x2-3x3+3y1-y2-3y3x1+y1-(x2+y2)+x3+y3]S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33x1−x2−3x3+3y1−y2−3y3x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
Etapa 6.3
Reorganize x1+y1-(x2+y2)+x3+y3x1+y1−(x2+y2)+x3+y3.
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33x1-x2-3x3+3y1-y2-3y3x1-x2+x3+y1-y2+y3]S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33x1−x2−3x3+3y1−y2−3y3x1−x2+x3+y1−y2+y3⎤⎥⎦
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33x1-x2-3x3+3y1-y2-3y3x1-x2+x3+y1-y2+y3]S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33x1−x2−3x3+3y1−y2−3y3x1−x2+x3+y1−y2+y3⎤⎥⎦
Etapa 7
Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.
S(x+y)=[x1-3x2-3x33x1-x2-3x3x1-x2+x3]+[y1-3y2-3y33y1-y2-3y3y1-y2+y3]S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x33x1−x2−3x3x1−x2+x3⎤⎥⎦+⎡⎢⎣y1−3y2−3y33y1−y2−3y3y1−y2+y3⎤⎥⎦
Etapa 8
A propriedade de adição da transformação é verdadeira.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Etapa 9
Para que uma transformação seja linear, ela deve manter a multiplicação escalar.
S(px)=T(p[abc])
Etapa 10
Etapa 10.1
Multiplique p por cada elemento na matriz.
S(px)=S([papbpc])
Etapa 10.2
Aplique a transformação ao vetor.
S(px)=[(pa)-3(pb)-3(pc)3((pa)-(pb)-3(pc))(pa)-(pb)+pc]
Etapa 10.3
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 10.3.1
Reorganize (pa)-3(pb)-3(pc).
S(px)=[ap-3bp-3cp3((pa)-(pb)-3(pc))(pa)-(pb)+pc]
Etapa 10.3.2
Reorganize 3((pa)-(pb)-3(pc)).
S(px)=[ap-3bp-3cp3ap-3bp-9cp(pa)-(pb)+pc]
Etapa 10.3.3
Reorganize (pa)-(pb)+pc.
S(px)=[ap-3bp-3cp3ap-3bp-9cpap-1bp+cp]
S(px)=[ap-3bp-3cp3ap-3bp-9cpap-1bp+cp]
Etapa 10.4
Fatore cada elemento da matriz.
Etapa 10.4.1
Fatore o elemento 0,0 multiplicando ap-3bp-3cp.
S(px)=[p(a-3b-3c)3ap-3bp-9cpap-1bp+cp]
Etapa 10.4.2
Fatore o elemento 1,0 multiplicando 3ap-3bp-9cp.
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)ap-1bp+cp]
Etapa 10.4.3
Fatore o elemento 2,0 multiplicando ap-1bp+cp.
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)p(a-b+c)]
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)p(a-b+c)]
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)p(a-b+c)]
Etapa 11
A segunda propriedade das transformações lineares é preservada nesta transformação.
S(p[abc])=pS(x)
Etapa 12
Para que a transformação seja linear, preserve o vetor zero.
S(0)=0
Etapa 13
Aplique a transformação ao vetor.
S(0)=[(0)-3⋅0-3⋅03(0)-(0)-3⋅0(0)-(0)+0]
Etapa 14
Etapa 14.1
Reorganize (0)-3⋅0-3⋅0.
S(0)=[03(0)-(0)-3⋅0(0)-(0)+0]
Etapa 14.2
Reorganize 3(0)-(0)-3⋅0.
S(0)=[00(0)-(0)+0]
Etapa 14.3
Reorganize (0)-(0)+0.
S(0)=[000]
S(0)=[000]
Etapa 15
O vetor zero é preservado pela transformação.
S(0)=0
Etapa 16
Como as três propriedades das transformações lineares não correspondem, esta não é uma transformação linear.
Transformação linear
