Álgebra linear Exemplos

A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ ,

x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]

$x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

Etapa 1

Escreva como uma matriz aumentada para

x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]

$x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

Etapa 2

Escreva como um sistema linear de equações.

8 = 3 x + 3 y

$8 = 3 x + 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova as variáveis para o lado esquerdo e todas as constantes para o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Subtraia

3 x

$3 x$ dos dois lados da equação.

8 - 3 x = 3 y

$8 - 3 x = 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Etapa 3.1.1.2

Subtraia

3 y

$3 y$ dos dois lados da equação.

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Etapa 3.1.2

Subtraia

8

$8$ dos dois lados da equação.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Etapa 3.1.3

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Subtraia

4 x

$4 x$ dos dois lados da equação.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x = - y

$1 - 4 x = - y$

Etapa 3.1.3.2

Some

y

$y$ aos dois lados da equação.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

Etapa 3.1.4

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

Etapa 3.2

Escreva o sistema como uma matriz.

[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3.3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Etapa 3.3.4

Execute a operação de linha

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em

1, 2

$1, 2$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Execute a operação de linha

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em

1, 2

$1, 2$ em

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Etapa 3.4

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

x = \frac{11}{15}

$x = \frac{11}{15}$

y = \frac{29}{15}

$y = \frac{29}{15}$

Etapa 3.5

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

Etapa 3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

{[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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