Álgebra linear Exemplos

$B = {[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}], [\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]}$

Etapa 1

Para determinar se as colunas na matriz são linearmente dependentes, determine se a equação $A x = 0$ tem alguma solução não trivial.

Etapa 2

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 3.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{19}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{19}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.5

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.5.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{19}{146}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 3.6.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{19}{146}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.7

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.7.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.7.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.9

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.9.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.9.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Escreva a matriz como um sistema de equações lineares.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Etapa 5

Como a única solução para $A x = 0$ é a solução trivial, os vetores são linearmente independentes.

Linearmente independente

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