Álgebra linear Exemplos
Etapa 1
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica .
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho é a matriz quadrada com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em .
Etapa 1.3.1
Substitua por .
Etapa 1.3.2
Substitua por .
Etapa 1.4
Simplifique.
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.4.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 1.4.3
Simplifique cada elemento.
Etapa 1.4.3.1
Some e .
Etapa 1.4.3.2
Some e .
Etapa 1.4.3.3
Some e .
Etapa 1.4.3.4
Some e .
Etapa 1.4.3.5
Some e .
Etapa 1.4.3.6
Some e .
Etapa 1.4.3.7
Subtraia de .
Etapa 1.5
Encontre o determinante.
Etapa 1.5.1
Escolha a linha ou coluna com mais elementos . Se não houver elementos , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna por seu cofator e some.
Etapa 1.5.1.1
Considere o gráfico de sinais correspondente.
Etapa 1.5.1.2
O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição no gráfico de sinais.
Etapa 1.5.1.3
O menor para é o determinante com a linha e a coluna excluídas.
Etapa 1.5.1.4
Multiplique o elemento por seu cofator.
Etapa 1.5.1.5
O menor para é o determinante com a linha e a coluna excluídas.
Etapa 1.5.1.6
Multiplique o elemento por seu cofator.
Etapa 1.5.1.7
O menor para é o determinante com a linha e a coluna excluídas.
Etapa 1.5.1.8
Multiplique o elemento por seu cofator.
Etapa 1.5.1.9
Adicione os termos juntos.
Etapa 1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4
Avalie .
Etapa 1.5.4.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.4.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.1
Expanda usando o método FOIL.
Etapa 1.5.4.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mova .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.2
Subtraia de .
Etapa 1.5.4.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.2
Subtraia de .
Etapa 1.5.4.2.3
Reordene e .
Etapa 1.5.5
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.5.1
Combine os termos opostos em .
Etapa 1.5.5.1.1
Some e .
Etapa 1.5.5.1.2
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.5.3
Simplifique.
Etapa 1.5.5.3.1
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.3.1.1
Mova .
Etapa 1.5.5.3.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.1.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.5.5.3.1.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.5.5.3.1.3
Some e .
Etapa 1.5.5.3.2
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.5.3.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.4
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.5.4.1
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.4.1.1
Mova .
Etapa 1.5.5.4.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a para encontrar os autovalores .
Etapa 1.7
Resolva .
Etapa 1.7.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Etapa 1.7.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.2
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.3
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.4
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.5
Fatore de .
Etapa 1.7.1.2
Fatore.
Etapa 1.7.1.2.1
Fatore usando o método AC.
Etapa 1.7.1.2.1.1
Considere a forma . Encontre um par de números inteiros cujo produto é e cuja soma é . Neste caso, cujo produto é e cuja soma é .
Etapa 1.7.1.2.1.2
Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.
Etapa 1.7.1.2.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 1.7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 1.7.3
Defina como igual a .
Etapa 1.7.4
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 1.7.4.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.4.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 1.7.5
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 1.7.5.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.5.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.7.6
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 2
O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde é o espaço nulo e é a matriz identidade.
Etapa 3
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 3.2
Simplifique.
Etapa 3.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 3.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 3.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 3.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.7
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.8
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 3.2.2
Somar qualquer matriz a uma matriz nula resulta na própria matriz.
Etapa 3.2.2.1
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 3.2.2.2
Simplifique cada elemento.
Etapa 3.2.2.2.1
Some e .
Etapa 3.2.2.2.2
Some e .
Etapa 3.2.2.2.3
Some e .
Etapa 3.2.2.2.4
Some e .
Etapa 3.2.2.2.5
Some e .
Etapa 3.2.2.2.6
Some e .
Etapa 3.2.2.2.7
Some e .
Etapa 3.2.2.2.8
Some e .
Etapa 3.2.2.2.9
Some e .
Etapa 3.3
Encontre o espaço nulo quando .
Etapa 3.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para .
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 3.3.2.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 3.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 3.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.2
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.2.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.3
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.3.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.4
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 3.3.2.4.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 3.3.2.4.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.5
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.5.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.5.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.6
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.6.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 3.3.2.6.2
Simplifique .
Etapa 3.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
Etapa 3.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
Etapa 3.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
Etapa 3.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
Etapa 3.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
Etapa 4
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 4.2
Simplifique.
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 4.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.7
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.8
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 4.2.3
Simplifique cada elemento.
Etapa 4.2.3.1
Subtraia de .
Etapa 4.2.3.2
Some e .
Etapa 4.2.3.3
Some e .
Etapa 4.2.3.4
Some e .
Etapa 4.2.3.5
Subtraia de .
Etapa 4.2.3.6
Some e .
Etapa 4.2.3.7
Some e .
Etapa 4.2.3.8
Some e .
Etapa 4.2.3.9
Subtraia de .
Etapa 4.3
Encontre o espaço nulo quando .
Etapa 4.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para .
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 4.3.2.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 4.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 4.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.2
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 4.3.2.2.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.3
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 4.3.2.3.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 4.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.4
Troque por para colocar uma entrada diferente de zero em .
Etapa 4.3.2.5
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 4.3.2.5.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 4.3.2.5.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.6
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 4.3.2.6.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 4.3.2.6.2
Simplifique .
Etapa 4.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
Etapa 4.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
Etapa 4.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
Etapa 4.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
Etapa 4.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
Etapa 5
Etapa 5.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 5.2
Simplifique.
Etapa 5.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 5.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 5.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 5.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.7
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.8
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 5.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 5.2.3
Simplifique cada elemento.
Etapa 5.2.3.1
Some e .
Etapa 5.2.3.2
Some e .
Etapa 5.2.3.3
Some e .
Etapa 5.2.3.4
Some e .
Etapa 5.2.3.5
Some e .
Etapa 5.2.3.6
Some e .
Etapa 5.2.3.7
Some e .
Etapa 5.2.3.8
Some e .
Etapa 5.2.3.9
Some e .
Etapa 5.3
Encontre o espaço nulo quando .
Etapa 5.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para .
Etapa 5.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 5.3.2.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 5.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 5.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 5.3.2.2
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 5.3.2.2.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 5.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 5.3.2.3
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 5.3.2.3.1
Execute a operação de linha para transformar a entrada em em .
Etapa 5.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 5.3.2.4
Troque por para colocar uma entrada diferente de zero em .
Etapa 5.3.2.5
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 5.3.2.5.1
Multiplique cada elemento de por para tornar a entrada em um .
Etapa 5.3.2.5.2
Simplifique .
Etapa 5.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
Etapa 5.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
Etapa 5.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
Etapa 5.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
Etapa 5.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
Etapa 6
O subespaço próprio de é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.