Álgebra linear Exemplos

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (4 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia $4 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Etapa 1.5.2.3

Reordene $- 5 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 5$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.3

Some $25$ e $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Etapa 1.7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Etapa 2

O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde $N$ é o espaço nulo e $I$ é a matriz identidade.

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

Etapa 3

Encontre o autovetor usando o autovalor $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3.3

Subtraia $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.8

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.10

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.11

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.13.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13.4

Subtraia $5$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.3

Encontre o espaço nulo quando $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Encontre o autovetor usando o autovalor $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada elemento.

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Etapa 4.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.3

Multiplique $- - \sqrt{33}$ .

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Etapa 4.2.3.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.3.2

Multiplique $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.4

Subtraia $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.10

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.11

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.13.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.4

Multiplique $- - \sqrt{33}$ .

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Etapa 4.2.3.13.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.4.2

Multiplique $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.5

Subtraia $5$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.3

Encontre o espaço nulo quando $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

O subespaço próprio de $B$ é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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