Álgebra linear Exemplos

B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda

(1 - λ) (4 - λ)

$(1 - λ) (4 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

1

$1$ .

p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique

- λ

$- λ$ por

1

$1$ .

p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique

4

$4$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia

4 λ

$4 λ$ de

- λ

$- λ$ .

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia

6

$6$ de

4

$4$ .

p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Etapa 1.5.2.3

Reordene

- 5 λ

$- 5 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a

0

$0$ para encontrar os autovalores

λ

$λ$ .

λ^{2} - 5 λ - 2 = 0

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Etapa 1.7

Resolva

λ

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 5

$b = - 5$ e

c = - 2

$c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva

λ

$λ$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.1

Eleve

- 5

$- 5$ à potência de

2

$2$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2

Multiplique

- 4 \cdot 1 \cdot - 2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

- 2

$- 2$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.3

Some

25

$25$ e

8

$8$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Etapa 1.7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Etapa 2

O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde

N

$N$ é o espaço nulo e

I

$I$ é a matriz identidade.

ε_{B} = N (B - λ I_{2})

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

Etapa 3

Encontre o autovetor usando o autovalor

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

\frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

\frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3.3

Subtraia

5

$5$ de

2

$2$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Reescreva

- 3

$- 3$ como

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.5

Fatore

- 1

$- 1$ de

- \sqrt{33}

$- \sqrt{33}$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.6

Fatore

- 1

$- 1$ de

- 1 (3) - (\sqrt{33})

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.8

Some

2

$2$ e

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.10

Para escrever

4

$4$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.11

Combine

4

$4$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.13.1

Multiplique

4

$4$ por

2

$2$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13.4

Subtraia

5

$5$ de

8

$8$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.3

Encontre o espaço nulo quando

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

{y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Encontre o autovetor usando o autovalor

λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique

- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique

- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

\frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique

- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

\frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.3

Multiplique

- - \sqrt{33}

$- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.3.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.3.2

Multiplique

\sqrt{33}

$\sqrt{33}$ por

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3.4

Subtraia

5

$5$ de

2

$2$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Reescreva

- 3

$- 3$ como

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Fatore

- 1

$- 1$ de

\sqrt{33}

$\sqrt{33}$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Fatore

- 1

$- 1$ de

- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Some

2

$2$ e

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.10

Para escrever

4

$4$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.11

Combine

4

$4$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.13.1

Multiplique

4

$4$ por

2

$2$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.4

Multiplique

- - \sqrt{33}

$- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.13.4.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.4.2

Multiplique

\sqrt{33}

$\sqrt{33}$ por

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13.5

Subtraia

5

$5$ de

8

$8$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.3

Encontre o espaço nulo quando

λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Escreva como uma matriz aumentada para

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Escreva como um conjunto de soluções.

{y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

O subespaço próprio de

B

$B$ é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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