Álgebra linear Exemplos

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Expanda

(1 - λ) (5 - λ)

$(1 - λ) (5 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique

5

$5$ por

1

$1$ .

p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique

- λ

$- λ$ por

1

$1$ .

p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique

5

$5$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova

λ

$λ$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.2

Subtraia

5 λ

$5 λ$ de

- λ

$- λ$ .

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

Etapa 5.2.2

Subtraia

6

$6$ de

5

$5$ .

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

Etapa 5.2.3

Reordene

- 6 λ

$- 6 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a

0

$0$ para encontrar os autovalores

λ

$λ$ .

λ^{2} - 6 λ - 1 = 0

$λ^{2} - 6 λ - 1 = 0$

Etapa 7

Resolva

λ

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 6

$b = - 6$ e

c = - 1

$c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva

λ

$λ$ .

\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Eleve

- 6

$- 6$ à potência de

2

$2$ .

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

- 1

$- 1$ .

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Some

36

$36$ e

4

$4$ .

λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva

40

$40$ como

2^{2} \cdot 10

$2^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.4.1

Fatore

4

$4$ de

40

$40$ .

λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.2

Reescreva

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique

\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

λ = 3 \pm \sqrt{10}

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

λ = 3 \pm \sqrt{10}

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Forma decimal:

λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots

$λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots$

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