Álgebra linear Exemplos

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna $2$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 5.1.3

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

O menor para $a_{22}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiplique o elemento $a_{22}$ por seu cofator.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

O menor para $a_{32}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiplique o elemento $a_{32}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 5.1.9

Adicione os termos juntos.

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.3

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $- 1 - λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.3.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.4

Avalie $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Expanda $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1 (- λ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.2.2

Multiplique $λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $- λ \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.3.2

Multiplique $λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.2

Some $λ$ e $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Etapa 5.4.2.1.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Etapa 5.4.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Etapa 5.4.2.2

Some $1$ e $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Etapa 5.4.2.3

Reordene $2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Etapa 5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Some $- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ e $0$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Etapa 5.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Etapa 5.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Etapa 5.5.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Etapa 5.5.2.4

Expanda $(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.2

Multiplique $2 λ$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.4

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.4.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.4.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.4.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.4.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.6

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.6.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.6.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Etapa 5.5.2.5.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Etapa 5.5.2.6

Subtraia $2 λ^{2}$ de $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Etapa 5.5.2.7

Subtraia $4 λ$ de $2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Etapa 5.5.3

Combine os termos opostos em $4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Some $- 4$ e $4$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Etapa 5.5.3.2

Some $4 λ - λ^{2} - 2 λ$ e $0$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Etapa 5.5.4

Subtraia $2 λ$ de $4 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Etapa 5.5.5

Mova $2 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Etapa 5.5.6

Reordene $- λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $- λ$ de $- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $- λ$ de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $- λ$ de $- λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $- λ$ de $2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.1.4

Fatore $- λ$ de $- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ .

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.1.1.5

Fatore $- λ$ de $- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore.

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $λ^{2} + λ - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 7.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Etapa 7.3

Defina $λ$ como igual a $0$ .

$λ = 0$

Etapa 7.4

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$λ = 1$

Etapa 7.5

Defina $λ + 2$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $λ + 2$ como igual a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$λ = - 2$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ verdadeiro.

$λ = 0, 1, - 2$

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