Álgebra linear Exemplos

A = [\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplifique cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some

$4$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Subtraia

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

Etapa 5

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4.1.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4.3

Multiplique

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

Etapa 5.2.2

Reordene

$- 2 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

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