Exemplos

$(2, 6, - 8)$ , $(- 12, - 2, - 1)$ , $(- 2, 8, 9)$ , $(3, 0, 0)$

Etapa 1

Considerando os pontos $C = (- 2, 8, 9)$ e $D = (3, 0, 0)$ , encontre um plano que contenha os pontos $A = (2, 6, - 8)$ e $B = (- 12, - 2, - 1)$ e que seja paralelo à reta $CD$ .

$A = (2, 6, - 8)$

$B = (- 12, - 2, - 1)$

$C = (- 2, 8, 9)$

$D = (3, 0, 0)$

Etapa 2

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos $C$ e $D$ . Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto $C$ e subtraia-os do ponto $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Etapa 3

Substitua os valores $x$ , $y$ e $z$ e simplifique para obter o vetor de direção $V_{CD}$ para a linha $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Etapa 4

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos $A$ e $B$ usando o mesmo método.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Etapa 5

Substitua os valores $x$ , $y$ e $z$ e simplifique para obter o vetor de direção $V_{AB}$ para a linha $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Etapa 6

O plano da solução conterá uma linha com os pontos $A$ e $B$ e com o vetor de direção $V_{A B}$ . Para que esse plano seja paralelo à linha $C D$ , encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha $C D$ . Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial $V_{A B}$ x $V_{C D}$ ao encontrar o determinante da matriz $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Etapa 7

Calcule o determinante.

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Etapa 7.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

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Etapa 7.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 7.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 7.1.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Etapa 7.1.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Etapa 7.1.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Etapa 7.1.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Etapa 7.1.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Etapa 7.1.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.1.9

Adicione os termos juntos.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2

Avalie $| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

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Etapa 7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique $- 8$ por $- 9$ .

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $- (- 8 \cdot 7)$ .

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Etapa 7.2.2.1.2.1

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 56$ .

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.2

Some $72$ e $56$ .

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3

Avalie $| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

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Etapa 7.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique $- 14$ por $- 9$ .

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $7$ .

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia $35$ de $126$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.4

Avalie $| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

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Etapa 7.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Etapa 7.4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.2.1.1

Multiplique $- 14$ por $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Etapa 7.4.2.2

Some $112$ e $40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1

Mova $128$ para a esquerda de $i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Etapa 7.5.2

Multiplique $- 1$ por $91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Etapa 8

Resolva a expressão $(128) x + (- 91) y + (152) z$ no ponto $A$ , já que ele está no plano. Isso é usado para calcular a constante na equação para o plano.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $128$ por $2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 91$ por $6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Etapa 8.1.3

Multiplique $152$ por $- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Etapa 8.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 8.2.1

Subtraia $546$ de $256$ .

$- 290 - 1216$

Etapa 8.2.2

Subtraia $1216$ de $- 290$ .

$- 1506$

Etapa 9

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é $(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ .

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Etapa 10

Multiplique $152$ por $z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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