Exemplos

Encontrar os autovetores/autoespaço
[6825]
Etapa 1
Encontre os autovalores.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI2)
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho 2 é a matriz quadrada 2×2 com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
[1001]
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em p(λ)=determinante(A-λI2).
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Substitua [6825] por A.
p(λ)=determinante([6825]-λI2)
Etapa 1.3.2
Substitua [1001] por I2.
p(λ)=determinante([6825]-λ[1001])
p(λ)=determinante([6825]-λ[1001])
Etapa 1.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Multiplique -λ por cada elemento da matriz.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ-λ0-λ0-λ1])
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique -λ0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ0λ-λ0-λ1])
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ0-λ0-λ1])
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique -λ0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00λ-λ1])
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ1])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ1])
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ])
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
p(λ)=determinante[6-λ8+02+05-λ]
Etapa 1.4.3
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.1
Some 8 e 0.
p(λ)=determinante[6-λ82+05-λ]
Etapa 1.4.3.2
Some 2 e 0.
p(λ)=determinante[6-λ825-λ]
p(λ)=determinante[6-λ825-λ]
p(λ)=determinante[6-λ825-λ]
Etapa 1.5
Find the determinant.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(6-λ)(5-λ)-28
Etapa 1.5.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.1
Expanda (6-λ)(5-λ) usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=6(5-λ)-λ(5-λ)-28
Etapa 1.5.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=65+6(-λ)-λ(5-λ)-28
Etapa 1.5.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=65+6(-λ)-λ5-λ(-λ)-28
p(λ)=65+6(-λ)-λ5-λ(-λ)-28
Etapa 1.5.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.2.1.1
Multiplique 6 por 5.
p(λ)=30+6(-λ)-λ5-λ(-λ)-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.2
Multiplique -1 por 6.
p(λ)=30-6λ-λ5-λ(-λ)-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.3
Multiplique 5 por -1.
p(λ)=30-6λ-5λ-λ(-λ)-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
p(λ)=30-6λ-5λ-1-1λλ-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.5
Multiplique λ por λ somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1
Mova λ.
p(λ)=30-6λ-5λ-1-1(λλ)-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2
Multiplique λ por λ.
p(λ)=30-6λ-5λ-1-1λ2-28
p(λ)=30-6λ-5λ-1-1λ2-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.6
Multiplique -1 por -1.
p(λ)=30-6λ-5λ+1λ2-28
Etapa 1.5.2.1.2.1.7
Multiplique λ2 por 1.
p(λ)=30-6λ-5λ+λ2-28
p(λ)=30-6λ-5λ+λ2-28
Etapa 1.5.2.1.2.2
Subtraia 5λ de -6λ.
p(λ)=30-11λ+λ2-28
p(λ)=30-11λ+λ2-28
Etapa 1.5.2.1.3
Multiplique -2 por 8.
p(λ)=30-11λ+λ2-16
p(λ)=30-11λ+λ2-16
Etapa 1.5.2.2
Subtraia 16 de 30.
p(λ)=-11λ+λ2+14
Etapa 1.5.2.3
Reordene -11λ e λ2.
p(λ)=λ2-11λ+14
p(λ)=λ2-11λ+14
p(λ)=λ2-11λ+14
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a 0 para encontrar os autovalores λ.
λ2-11λ+14=0
Etapa 1.7
Resolva λ.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1
Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.
-b±b2-4(ac)2a
Etapa 1.7.2
Substitua os valores a=1, b=-11 e c=14 na fórmula quadrática e resolva λ.
11±(-11)2-4(114)21
Etapa 1.7.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.3.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.3.1.1
Eleve -11 à potência de 2.
λ=11±121-411421
Etapa 1.7.3.1.2
Multiplique -4114.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.3.1.2.1
Multiplique -4 por 1.
λ=11±121-41421
Etapa 1.7.3.1.2.2
Multiplique -4 por 14.
λ=11±121-5621
λ=11±121-5621
Etapa 1.7.3.1.3
Subtraia 56 de 121.
λ=11±6521
λ=11±6521
Etapa 1.7.3.2
Multiplique 2 por 1.
λ=11±652
λ=11±652
Etapa 1.7.4
A resposta final é a combinação das duas soluções.
λ=11+652,11-652
λ=11+652,11-652
λ=11+652,11-652
Etapa 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
Etapa 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=11+652.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([6825]-11+652[1001])
Etapa 3.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1.1
Multiplique -11+652 por cada elemento da matriz.
[6825]+[-11+6521-11+6520-11+6520-11+6521]
Etapa 3.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11+652-11+6520-11+6520-11+6521]
Etapa 3.2.1.2.2
Multiplique -11+6520.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11+652011+652-11+6520-11+6521]
Etapa 3.2.1.2.2.2
Multiplique 0 por 11+652.
[6825]+[-11+6520-11+6520-11+6521]
[6825]+[-11+6520-11+6520-11+6521]
Etapa 3.2.1.2.3
Multiplique -11+6520.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11+6520011+652-11+6521]
Etapa 3.2.1.2.3.2
Multiplique 0 por 11+652.
[6825]+[-11+65200-11+6521]
[6825]+[-11+65200-11+6521]
Etapa 3.2.1.2.4
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11+65200-11+652]
[6825]+[-11+65200-11+652]
[6825]+[-11+65200-11+652]
Etapa 3.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[6-11+6528+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.3.1
Para escrever 6 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[622-11+6528+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.2
Combine 6 e 22.
[622-11+6528+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[62-(11+65)28+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.3.4.1
Multiplique 6 por 2.
[12-(11+65)28+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.4.2
Aplique a propriedade distributiva.
[12-111-6528+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.4.3
Multiplique -1 por 11.
[12-11-6528+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.4.4
Subtraia 11 de 12.
[1-6528+02+05-11+652]
[1-6528+02+05-11+652]
Etapa 3.2.3.5
Some 8 e 0.
[1-65282+05-11+652]
Etapa 3.2.3.6
Some 2 e 0.
[1-652825-11+652]
Etapa 3.2.3.7
Para escrever 5 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[1-65282522-11+652]
Etapa 3.2.3.8
Combine 5 e 22.
[1-65282522-11+652]
Etapa 3.2.3.9
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[1-6528252-(11+65)2]
Etapa 3.2.3.10
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.3.10.1
Multiplique 5 por 2.
[1-6528210-(11+65)2]
Etapa 3.2.3.10.2
Aplique a propriedade distributiva.
[1-6528210-111-652]
Etapa 3.2.3.10.3
Multiplique -1 por 11.
[1-6528210-11-652]
Etapa 3.2.3.10.4
Subtraia 11 de 10.
[1-65282-1-652]
[1-65282-1-652]
Etapa 3.2.3.11
Reescreva -1 como -1(1).
[1-65282-1(1)-652]
Etapa 3.2.3.12
Fatore -1 de -65.
[1-65282-1(1)-(65)2]
Etapa 3.2.3.13
Fatore -1 de -1(1)-(65).
[1-65282-1(1+65)2]
Etapa 3.2.3.14
Mova o número negativo para a frente da fração.
[1-65282-1+652]
[1-65282-1+652]
[1-65282-1+652]
Etapa 3.3
Find the null space when λ=11+652.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1-652802-1+6520]
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 21-65 to make the entry at 1,1 a 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 21-65 to make the entry at 1,1 a 1.
[21-651-65221-65821-6502-1+6520]
Etapa 3.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1-1+65402-1+6520]
[1-1+65402-1+6520]
Etapa 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-1+65402-21-1+652-2(-1+654)0-20]
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique R2.
[1-1+6540000]
[1-1+6540000]
[1-1+6540000]
Etapa 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-1+654y=0
0=0
Etapa 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[y4+y654y]
Etapa 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[14+6541]
Etapa 3.3.6
Write as a solution set.
{y[14+6541]|yR}
Etapa 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[14+6541]}
{[14+6541]}
{[14+6541]}
Etapa 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=11-652.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([6825]-11-652[1001])
Etapa 4.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1.1
Multiplique -11-652 por cada elemento da matriz.
[6825]+[-11-6521-11-6520-11-6520-11-6521]
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11-652-11-6520-11-6520-11-6521]
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique -11-6520.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11-652011-652-11-6520-11-6521]
Etapa 4.2.1.2.2.2
Multiplique 0 por 11-652.
[6825]+[-11-6520-11-6520-11-6521]
[6825]+[-11-6520-11-6520-11-6521]
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique -11-6520.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11-6520011-652-11-6521]
Etapa 4.2.1.2.3.2
Multiplique 0 por 11-652.
[6825]+[-11-65200-11-6521]
[6825]+[-11-65200-11-6521]
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11-65200-11-652]
[6825]+[-11-65200-11-652]
[6825]+[-11-65200-11-652]
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[6-11-6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.3.1
Para escrever 6 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[622-11-6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.2
Combine 6 e 22.
[622-11-6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[62-(11-65)28+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.3.4.1
Multiplique 6 por 2.
[12-(11-65)28+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.4.2
Aplique a propriedade distributiva.
[12-111--6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.4.3
Multiplique -1 por 11.
[12-11--6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.4.4
Multiplique --65.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.3.4.4.1
Multiplique -1 por -1.
[12-11+16528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.4.4.2
Multiplique 65 por 1.
[12-11+6528+02+05-11-652]
[12-11+6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.4.5
Subtraia 11 de 12.
[1+6528+02+05-11-652]
[1+6528+02+05-11-652]
Etapa 4.2.3.5
Some 8 e 0.
[1+65282+05-11-652]
Etapa 4.2.3.6
Some 2 e 0.
[1+652825-11-652]
Etapa 4.2.3.7
Para escrever 5 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[1+65282522-11-652]
Etapa 4.2.3.8
Combine 5 e 22.
[1+65282522-11-652]
Etapa 4.2.3.9
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[1+6528252-(11-65)2]
Etapa 4.2.3.10
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.3.10.1
Multiplique 5 por 2.
[1+6528210-(11-65)2]
Etapa 4.2.3.10.2
Aplique a propriedade distributiva.
[1+6528210-111--652]
Etapa 4.2.3.10.3
Multiplique -1 por 11.
[1+6528210-11--652]
Etapa 4.2.3.10.4
Multiplique --65.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.3.10.4.1
Multiplique -1 por -1.
[1+6528210-11+1652]
Etapa 4.2.3.10.4.2
Multiplique 65 por 1.
[1+6528210-11+652]
[1+6528210-11+652]
Etapa 4.2.3.10.5
Subtraia 11 de 10.
[1+65282-1+652]
[1+65282-1+652]
Etapa 4.2.3.11
Reescreva -1 como -1(1).
[1+65282-1(1)+652]
Etapa 4.2.3.12
Fatore -1 de 65.
[1+65282-1(1)-1(-65)2]
Etapa 4.2.3.13
Fatore -1 de -1(1)-1(-65).
[1+65282-1(1-65)2]
Etapa 4.2.3.14
Mova o número negativo para a frente da fração.
[1+65282-1-652]
[1+65282-1-652]
[1+65282-1-652]
Etapa 4.3
Find the null space when λ=11-652.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1+652802-1-6520]
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 21+65 to make the entry at 1,1 a 1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 21+65 to make the entry at 1,1 a 1.
[21+651+65221+65821+6502-1-6520]
Etapa 4.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1-1-65402-1-6520]
[1-1-65402-1-6520]
Etapa 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-1-65402-21-1-652-2(-1-654)0-20]
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique R2.
[1-1-6540000]
[1-1-6540000]
[1-1-6540000]
Etapa 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-1-654y=0
0=0
Etapa 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[y4-y654y]
Etapa 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[14-6541]
Etapa 4.3.6
Write as a solution set.
{y[14-6541]|yR}
Etapa 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[14-6541]}
{[14-6541]}
{[14-6541]}
Etapa 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[14+6541],[14-6541]}
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