Exemplos

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 + 0 3 + 0 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 + 0 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda

(4 - λ) (1 - λ)

$(4 - λ) (1 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique

4

$4$ por

1

$1$ .

p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia

λ

$λ$ de

- 4 λ

$- 4 λ$ .

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia

6

$6$ de

4

$4$ .

p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Etapa 1.5.2.3

Reordene

- 5 λ

$- 5 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a

0

$0$ para encontrar os autovalores

λ

$λ$ .

λ^{2} - 5 λ - 2 = 0

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Etapa 1.7

Resolva

λ

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 5

$b = - 5$ e

c = - 2

$c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva

λ

$λ$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.1

Eleve

- 5

$- 5$ à potência de

2

$2$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2

Multiplique

- 4 \cdot 1 \cdot - 2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

- 2

$- 2$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.3

Some

25

$25$ e

8

$8$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Etapa 1.7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

N ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.2.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2.2

Multiplique

$0$ por

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para escrever

$4$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Combine

$4$ e

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.4.1

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4.3

Multiplique

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4.4

Subtraia

$5$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.5

Some

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.6

Some

$3$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.7

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9.2

Multiplique

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9.3

Subtraia

$5$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.10

Reescreva

$- 3$ como

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.11

Fatore

$- 1$ de

$- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.12

Fatore

$- 1$ de

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.2.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2.2

Multiplique

$0$ por

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Para escrever

$4$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Combine

$4$ e

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.4.1

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.3

Multiplique

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.4

Multiplique

$- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.4.4.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.4.2

Multiplique

$\sqrt{33}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.5

Subtraia

$5$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Some

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Some

$3$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9.2

Multiplique

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9.3

Multiplique

$- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.9.3.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9.3.2

Multiplique

$\sqrt{33}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9.4

Subtraia

$5$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.10

Reescreva

$- 3$ como

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.11

Fatore

$- 1$ de

$\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.12

Fatore

$- 1$ de

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} - \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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