Exemplos
[6825]
Etapa 1
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI2)
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho 2 é a matriz quadrada 2×2 com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
[1001]
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em p(λ)=determinante(A-λI2).
Etapa 1.3.1
Substitua [6825] por A.
p(λ)=determinante([6825]-λI2)
Etapa 1.3.2
Substitua [1001] por I2.
p(λ)=determinante([6825]-λ[1001])
p(λ)=determinante([6825]-λ[1001])
Etapa 1.4
Simplifique.
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.4.1.1
Multiplique -λ por cada elemento da matriz.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00λ-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ])
p(λ)=determinante([6825]+[-λ00-λ])
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
p(λ)=determinante[6-λ8+02+05-λ]
Etapa 1.4.3
Simplify each element.
Etapa 1.4.3.1
Some 8 e 0.
p(λ)=determinante[6-λ82+05-λ]
Etapa 1.4.3.2
Some 2 e 0.
p(λ)=determinante[6-λ825-λ]
p(λ)=determinante[6-λ825-λ]
p(λ)=determinante[6-λ825-λ]
Etapa 1.5
Find the determinant.
Etapa 1.5.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(6-λ)(5-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.2.1.1
Expanda (6-λ)(5-λ) usando o método FOIL.
Etapa 1.5.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=6(5-λ)-λ(5-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=6⋅5+6(-λ)-λ(5-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=6⋅5+6(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅8
p(λ)=6⋅5+6(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 1.5.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.2.1.2.1.1
Multiplique 6 por 5.
p(λ)=30+6(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.2
Multiplique -1 por 6.
p(λ)=30-6λ-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.3
Multiplique 5 por -1.
p(λ)=30-6λ-5λ-λ(-λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
p(λ)=30-6λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.5
Multiplique λ por λ somando os expoentes.
Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1
Mova λ.
p(λ)=30-6λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2
Multiplique λ por λ.
p(λ)=30-6λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅8
p(λ)=30-6λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.6
Multiplique -1 por -1.
p(λ)=30-6λ-5λ+1λ2-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.1.7
Multiplique λ2 por 1.
p(λ)=30-6λ-5λ+λ2-2⋅8
p(λ)=30-6λ-5λ+λ2-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.2.2
Subtraia 5λ de -6λ.
p(λ)=30-11λ+λ2-2⋅8
p(λ)=30-11λ+λ2-2⋅8
Etapa 1.5.2.1.3
Multiplique -2 por 8.
p(λ)=30-11λ+λ2-16
p(λ)=30-11λ+λ2-16
Etapa 1.5.2.2
Subtraia 16 de 30.
p(λ)=-11λ+λ2+14
Etapa 1.5.2.3
Reordene -11λ e λ2.
p(λ)=λ2-11λ+14
p(λ)=λ2-11λ+14
p(λ)=λ2-11λ+14
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a 0 para encontrar os autovalores λ.
λ2-11λ+14=0
Etapa 1.7
Resolva λ.
Etapa 1.7.1
Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.
-b±√b2-4(ac)2a
Etapa 1.7.2
Substitua os valores a=1, b=-11 e c=14 na fórmula quadrática e resolva λ.
11±√(-11)2-4⋅(1⋅14)2⋅1
Etapa 1.7.3
Simplifique.
Etapa 1.7.3.1
Simplifique o numerador.
Etapa 1.7.3.1.1
Eleve -11 à potência de 2.
λ=11±√121-4⋅1⋅142⋅1
Etapa 1.7.3.1.2
Multiplique -4⋅1⋅14.
Etapa 1.7.3.1.2.1
Multiplique -4 por 1.
λ=11±√121-4⋅142⋅1
Etapa 1.7.3.1.2.2
Multiplique -4 por 14.
λ=11±√121-562⋅1
λ=11±√121-562⋅1
Etapa 1.7.3.1.3
Subtraia 56 de 121.
λ=11±√652⋅1
λ=11±√652⋅1
Etapa 1.7.3.2
Multiplique 2 por 1.
λ=11±√652
λ=11±√652
Etapa 1.7.4
A resposta final é a combinação das duas soluções.
λ=11+√652,11-√652
λ=11+√652,11-√652
λ=11+√652,11-√652
Etapa 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
Etapa 3
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([6825]-11+√652[1001])
Etapa 3.2
Simplifique.
Etapa 3.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 3.2.1.1
Multiplique -11+√652 por cada elemento da matriz.
[6825]+[-11+√652⋅1-11+√652⋅0-11+√652⋅0-11+√652⋅1]
Etapa 3.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 3.2.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11+√652-11+√652⋅0-11+√652⋅0-11+√652⋅1]
Etapa 3.2.1.2.2
Multiplique -11+√652⋅0.
Etapa 3.2.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11+√652011+√652-11+√652⋅0-11+√652⋅1]
Etapa 3.2.1.2.2.2
Multiplique 0 por 11+√652.
[6825]+[-11+√6520-11+√652⋅0-11+√652⋅1]
[6825]+[-11+√6520-11+√652⋅0-11+√652⋅1]
Etapa 3.2.1.2.3
Multiplique -11+√652⋅0.
Etapa 3.2.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11+√6520011+√652-11+√652⋅1]
Etapa 3.2.1.2.3.2
Multiplique 0 por 11+√652.
[6825]+[-11+√65200-11+√652⋅1]
[6825]+[-11+√65200-11+√652⋅1]
Etapa 3.2.1.2.4
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11+√65200-11+√652]
[6825]+[-11+√65200-11+√652]
[6825]+[-11+√65200-11+√652]
Etapa 3.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[6-11+√6528+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3
Simplify each element.
Etapa 3.2.3.1
Para escrever 6 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[6⋅22-11+√6528+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.2
Combine 6 e 22.
[6⋅22-11+√6528+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[6⋅2-(11+√65)28+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.4
Simplifique o numerador.
Etapa 3.2.3.4.1
Multiplique 6 por 2.
[12-(11+√65)28+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.4.2
Aplique a propriedade distributiva.
[12-1⋅11-√6528+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.4.3
Multiplique -1 por 11.
[12-11-√6528+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.4.4
Subtraia 11 de 12.
[1-√6528+02+05-11+√652]
[1-√6528+02+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.5
Some 8 e 0.
[1-√65282+05-11+√652]
Etapa 3.2.3.6
Some 2 e 0.
[1-√652825-11+√652]
Etapa 3.2.3.7
Para escrever 5 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[1-√652825⋅22-11+√652]
Etapa 3.2.3.8
Combine 5 e 22.
[1-√652825⋅22-11+√652]
Etapa 3.2.3.9
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[1-√652825⋅2-(11+√65)2]
Etapa 3.2.3.10
Simplifique o numerador.
Etapa 3.2.3.10.1
Multiplique 5 por 2.
[1-√6528210-(11+√65)2]
Etapa 3.2.3.10.2
Aplique a propriedade distributiva.
[1-√6528210-1⋅11-√652]
Etapa 3.2.3.10.3
Multiplique -1 por 11.
[1-√6528210-11-√652]
Etapa 3.2.3.10.4
Subtraia 11 de 10.
[1-√65282-1-√652]
[1-√65282-1-√652]
Etapa 3.2.3.11
Reescreva -1 como -1(1).
[1-√65282-1(1)-√652]
Etapa 3.2.3.12
Fatore -1 de -√65.
[1-√65282-1(1)-(√65)2]
Etapa 3.2.3.13
Fatore -1 de -1(1)-(√65).
[1-√65282-1(1+√65)2]
Etapa 3.2.3.14
Mova o número negativo para a frente da fração.
[1-√65282-1+√652]
[1-√65282-1+√652]
[1-√65282-1+√652]
Etapa 3.3
Find the null space when λ=11+√652.
Etapa 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1-√652802-1+√6520]
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 21-√65 to make the entry at 1,1 a 1.
Etapa 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 21-√65 to make the entry at 1,1 a 1.
[21-√65⋅1-√65221-√65⋅821-√65⋅02-1+√6520]
Etapa 3.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1-1+√65402-1+√6520]
[1-1+√65402-1+√6520]
Etapa 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Etapa 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-1+√65402-2⋅1-1+√652-2(-1+√654)0-2⋅0]
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique R2.
[1-1+√6540000]
[1-1+√6540000]
[1-1+√6540000]
Etapa 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-1+√654y=0
0=0
Etapa 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[y4+y√654y]
Etapa 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[14+√6541]
Etapa 3.3.6
Write as a solution set.
{y[14+√6541]|y∈R}
Etapa 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[14+√6541]}
{[14+√6541]}
{[14+√6541]}
Etapa 4
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([6825]-11-√652[1001])
Etapa 4.2
Simplifique.
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 4.2.1.1
Multiplique -11-√652 por cada elemento da matriz.
[6825]+[-11-√652⋅1-11-√652⋅0-11-√652⋅0-11-√652⋅1]
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11-√652-11-√652⋅0-11-√652⋅0-11-√652⋅1]
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique -11-√652⋅0.
Etapa 4.2.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11-√652011-√652-11-√652⋅0-11-√652⋅1]
Etapa 4.2.1.2.2.2
Multiplique 0 por 11-√652.
[6825]+[-11-√6520-11-√652⋅0-11-√652⋅1]
[6825]+[-11-√6520-11-√652⋅0-11-√652⋅1]
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique -11-√652⋅0.
Etapa 4.2.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
[6825]+[-11-√6520011-√652-11-√652⋅1]
Etapa 4.2.1.2.3.2
Multiplique 0 por 11-√652.
[6825]+[-11-√65200-11-√652⋅1]
[6825]+[-11-√65200-11-√652⋅1]
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique -1 por 1.
[6825]+[-11-√65200-11-√652]
[6825]+[-11-√65200-11-√652]
[6825]+[-11-√65200-11-√652]
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[6-11-√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3
Simplify each element.
Etapa 4.2.3.1
Para escrever 6 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[6⋅22-11-√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.2
Combine 6 e 22.
[6⋅22-11-√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[6⋅2-(11-√65)28+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.4
Simplifique o numerador.
Etapa 4.2.3.4.1
Multiplique 6 por 2.
[12-(11-√65)28+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.4.2
Aplique a propriedade distributiva.
[12-1⋅11--√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.4.3
Multiplique -1 por 11.
[12-11--√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.4.4
Multiplique --√65.
Etapa 4.2.3.4.4.1
Multiplique -1 por -1.
[12-11+1√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.4.4.2
Multiplique √65 por 1.
[12-11+√6528+02+05-11-√652]
[12-11+√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.4.5
Subtraia 11 de 12.
[1+√6528+02+05-11-√652]
[1+√6528+02+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.5
Some 8 e 0.
[1+√65282+05-11-√652]
Etapa 4.2.3.6
Some 2 e 0.
[1+√652825-11-√652]
Etapa 4.2.3.7
Para escrever 5 como fração com um denominador comum, multiplique por 22.
[1+√652825⋅22-11-√652]
Etapa 4.2.3.8
Combine 5 e 22.
[1+√652825⋅22-11-√652]
Etapa 4.2.3.9
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
[1+√652825⋅2-(11-√65)2]
Etapa 4.2.3.10
Simplifique o numerador.
Etapa 4.2.3.10.1
Multiplique 5 por 2.
[1+√6528210-(11-√65)2]
Etapa 4.2.3.10.2
Aplique a propriedade distributiva.
[1+√6528210-1⋅11--√652]
Etapa 4.2.3.10.3
Multiplique -1 por 11.
[1+√6528210-11--√652]
Etapa 4.2.3.10.4
Multiplique --√65.
Etapa 4.2.3.10.4.1
Multiplique -1 por -1.
[1+√6528210-11+1√652]
Etapa 4.2.3.10.4.2
Multiplique √65 por 1.
[1+√6528210-11+√652]
[1+√6528210-11+√652]
Etapa 4.2.3.10.5
Subtraia 11 de 10.
[1+√65282-1+√652]
[1+√65282-1+√652]
Etapa 4.2.3.11
Reescreva -1 como -1(1).
[1+√65282-1(1)+√652]
Etapa 4.2.3.12
Fatore -1 de √65.
[1+√65282-1(1)-1(-√65)2]
Etapa 4.2.3.13
Fatore -1 de -1(1)-1(-√65).
[1+√65282-1(1-√65)2]
Etapa 4.2.3.14
Mova o número negativo para a frente da fração.
[1+√65282-1-√652]
[1+√65282-1-√652]
[1+√65282-1-√652]
Etapa 4.3
Find the null space when λ=11-√652.
Etapa 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1+√652802-1-√6520]
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 21+√65 to make the entry at 1,1 a 1.
Etapa 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 21+√65 to make the entry at 1,1 a 1.
[21+√65⋅1+√65221+√65⋅821+√65⋅02-1-√6520]
Etapa 4.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1-1-√65402-1-√6520]
[1-1-√65402-1-√6520]
Etapa 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Etapa 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-1-√65402-2⋅1-1-√652-2(-1-√654)0-2⋅0]
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique R2.
[1-1-√6540000]
[1-1-√6540000]
[1-1-√6540000]
Etapa 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-1-√654y=0
0=0
Etapa 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[y4-y√654y]
Etapa 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[14-√6541]
Etapa 4.3.6
Write as a solution set.
{y[14-√6541]|y∈R}
Etapa 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[14-√6541]}
{[14-√6541]}
{[14-√6541]}
Etapa 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[14+√6541],[14-√6541]}